Círculo ortocentroide

El círculo ortocentroide de un triángulo equilátero  es un círculo construido sobre un segmento que conecta su ortocentro y centroide , como en un diámetro . Este diámetro también contiene el centro del círculo circunscrito y el centro del círculo de los nueve puntos del triángulo , y es parte de la línea de Euler .

Guinand (1984) demostró que el incentro del triángulo debe estar dentro del círculo ortocentroide , pero no coincidir con el centro de nueve puntos ; es decir, debe caer en un disco ortocentroide abierto con el centro de nueve puntos tallado en el interior [1] [2] [3] [4] [5] :pp. 451–452 .

Además [2] , el punto de Fermat , el punto de Gergonne y el punto de Lemoine se encuentran en un disco ortocentroide abierto con su propio centro cortado dentro (y puede estar en cualquier punto dentro de él), mientras que el segundo punto de Fermat está fuera del círculo ortocentroide (y también puede estar en cualquier lugar fuera). Las posibles posiciones del primer y segundo punto de Brokar también están en el disco ortocentroide abierto [6] .

El cuadrado del diámetro de un círculo ortocentroide es [7] :p.102 donde a , b y c son las longitudes de los lados del triángulo, D  es el diámetro del círculo circunscrito .

Notas

1. ↑ Guinand, Andrew P. (1984), Líneas de Euler, centros tritangentes y sus triángulos, American Mathematical Monthly T. 91 (5): 290–300  .
2. ↑ 1 2 Bradley, Christopher J. & Smith, Geoff C. (2006), Las ubicaciones de los centros de los triángulos , Forum Geometricorum Vol. 6: 57–70 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html > Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine . 
3. ↑ Stern, Joseph (2007), Problema de determinación del triángulo de Euler , Forum Geometricorum vol 7: 1–9 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200701.pdf > Archivado el 26 de octubre de 2021 en Wayback Machine . 
4. ↑ Franzsen, William N. (2011), La distancia desde el incentro hasta la línea de Euler , Forum Geometricorum Vol. 11: 231–236 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html > Archivado desde octubre 22, 2021 en la Wayback Machine . 
5. ↑ Leversha, Gerry & Smith, GC (noviembre de 2007), Euler y la geometría del triángulo, Mathematical Gazette , volumen 91 (522): 436–452  .
6. ↑ Bradley, Christopher J. & Smith, Geoff C. (2006), Las ubicaciones de los puntos de Brocard , Forum Geometricorum Vol . 6: 71–77 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200608index.html > Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine . 
7. ↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).