Línea de Euler
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 20 de septiembre de 2022; las comprobaciones requieren 2 ediciones .La recta de Euler es una recta que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita y el ortocentro del triángulo .
Propiedades
- La recta de Euler pasa por:
- Centroide del triángulo
- Triángulo ortocentro
- El punto de intersección de las perpendiculares medias a los lados del triángulo (el centro del círculo circunscrito)
- Centro del círculo de nueve puntos
- Punto de Exeter X(22)
- el teorema de Euler. El punto de intersección de las medianas M se encuentra sobre la recta de Euler y divide el segmento entre el centro de la circunferencia circunscrita O y el ortocentro H en la razón 1:2 ( ).
- La línea que pasa por los dos puntos de Vecten y se cruza con la línea de Euler en el centro de los nueve puntos del triángulo .
- La ecuación de la línea de Euler en coordenadas trilineales es
- Los puntos de intersección de las líneas que contienen los lados del ortotriángulo con las líneas que contienen los lados del triángulo también se encuentran en la misma línea . Esta línea se llama eje ortocéntrico y es perpendicular a la línea de Euler.
- El teorema de Schiffler establece lo siguiente: Si consideramos tres triángulos BCI , CAI y ABI en un triángulo ABC con el centro de la circunferencia inscrita I , entonces sus tres ( primeras ) rectas de Euler, así como la ( primera ) recta de Euler del triángulo ABC (las cuatro líneas) se intersecan en un punto, en el punto de Schiffler Sp (ver la figura de la derecha).
Segunda línea de Euler (línea de Euler-Nagel)
La línea de Euler anterior a veces se llama la (primera) línea de Euler generalizada [1] . Hay 4 puntos en esta línea:
- el baricentro del triángulo dado _ _ _
- el ortocentro de un triángulo ABC dado
- el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo dado ABC (también es el centro de la circunferencia de Euler del triángulo anticomplementario A"B"C" )
- el centro del círculo de Euler del triángulo ABC dado
- Algunos autores (ver la imagen en facultad.evansville.edu ) añaden otro punto L de Longchamp - un punto de reflexión del ortocentro del triángulo ABC relativo a su centro del círculo circunscrito (L= punto de Longchamps = traslación no de acuerdo con las reglas ), presentado por el matemático francés Gaston Albert Gohierre. Este punto es el ortocentro del triángulo anticomplementario [2] [3] .
La segunda línea de Euler o línea de Euler-Nagel está definida por el siguiente Teorema de Huzel .
- Teorema de Husel refinado (Housel). El centro de gravedad ( G ) de un triángulo ABC dado (el baricentro ), el centro de la circunferencia inscrita ( I ), su punto de Nagel ( M ) y el centro ( S ) de la circunferencia inscrita en el triángulo complementario A'B 'C' (o el centro de Spieker ) se encuentran en una línea recta . Además [4] ,
La línea indicada a veces se llama la segunda línea de Euler o la línea de Euler-Nagel . Hay 4 puntos en esta línea:
- el centroide ( G ) del triángulo dado (también es el centroide del triángulo complementario , y también es el centroide del triángulo anticomplementario ).
- Punto de Nagel ( M ) del triángulo dado ABC (también es el centro del círculo inscrito en el triángulo anticomplementario A"B"C" )
- incírculo centro ( I ) del triángulo ABC dado
- el centro ( S ) de una circunferencia inscrita en el triángulo complementario A'B'C' , también llamado centro de Spieker .
- Todas las líneas de Euler generalizadas pasan necesariamente por el centroide del triángulo dado, que es a la vez el centroide del triángulo complementario y el triángulo anticomplementario .
La perspectiva de Gossard y las líneas de Euler
Si tomamos cualquier par de lados del triángulo ABC y tomamos la primera línea de Euler del triángulo ABC como el tercer lado , entonces se pueden construir tres triángulos mediante la enumeración de tres opciones. Sus primeras líneas de Euler forman un triángulo AgBgCg congruente con el triángulo ABC (igual a él pero girado un cierto ángulo). Tres pares de segmentos que conectan vértices similares de estos dos triángulos congruentes se cortarán en un punto Pg, llamado perspectiva de Gossard .
Enlace
Perspector de Gossard http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html
Historia
El teorema de Euler fue demostrado en 1765 por L. Euler . Luego también descubrió el hecho de que los puntos medios de los lados de un triángulo y las bases de sus alturas se encuentran en el mismo círculo: el círculo de Euler .
Véase también
Notas
- ↑ Zetel, 1962 , pág. 153.
- ↑ archive.lib.msu.edu . Fecha de acceso: 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 2 de junio de 2013.
- ↑ facultad.evansville.edu . Consultado el 4 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 10 de febrero de 2007.
- ↑ Línea A. Bogomolny Nagel de Miscelánea y rompecabezas interactivos de matemáticas . Consultado el 8 de abril de 2019. Archivado desde el original el 10 de mayo de 2012.
Literatura
- Leonard Euler . Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. 1767, v. 11. - S. 103-123. Reimpreso en Opera Omnia, ser. yo, vol. XXVI, págs. 139-157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausana, 1953, MR0061061.
- Dm. Efremov. Nueva geometría triangular . - 1902.
- Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nuevos encuentros con la geometría. -M.:Nauka, 1978. - T. 14.- (Biblioteca del Círculo Matemático).
- Curso optativo de matemáticas. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M .: Educación , 1991. - S. 96-97. — 383 pág. — ISBN 5-09-001287-3 . .
- Zetel S.I. Nueva geometría triangular. Una guía para profesores. 2ª edición .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - 153 p.
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