Punto brocard

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punto brocard
Punto de Brocard de un triángulo , construido como el punto de intersección de tres círculos $PAGS$ $\triángulo ABC$
coordenadas baricéntricas	${\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{b^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}}}$
Coordenadas trilineales	${\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}$
código ECT	x(76)
puntos conectados
conjugado isotómicamente	punto limón

El punto de Brokar es uno de los dos puntos dentro de un triángulo que surgen en la intersección de los segmentos que conectan los vértices del triángulo con los vértices libres correspondientes de triángulos similares a este triángulo y construidos sobre sus lados. Se consideran puntos notables de un triángulo , con su ayuda se construyen muchos objetos de geometría triangular (incluido el círculo de Brocard, el triángulo de Brocard , el círculo de Neuberg ).

Nombrado en honor al meteorólogo y geómetra francés Henri Brocard , quien describió los puntos y su construcción en 1875 , sin embargo, también eran conocidos antes, en particular, fueron construidos en una de las obras del matemático y arquitecto alemán August Crelle , publicada en 1816 .

En la Encyclopedia of Triangle Centers , el primer punto de Brocard se identifica como . ${\ estilo de visualización X (39)}$

Definición

En un triángulo de lados , y opuestos a los vértices , y , respectivamente, sólo existe un punto tal que los segmentos de recta , y forman el mismo ángulo con los lados , y , respectivamente: . El punto se llama primer punto de Brocard del triángulo y el ángulo se llama ángulo de Brocard del triángulo. $\triángulo ABC$ $a$ $b$ $C$ $A$ $B$ $C$ $PAGS$ $punto de acceso$ $PA$ $PC$ $\omega$ $C$ $a$ $b$ $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$ $PAGS$ $\triángulo ABC$ $\omega$

Para el ángulo de Brocard , se cumple la siguiente identidad: . Para el ángulo de Brocard , se cumple la siguiente desigualdad de Yiff : , donde son los ángulos del triángulo buscado [1] . $\omega$ $\mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\ángulo BAC+\mathrm {ctg} \,\ángulo ABC+\mathrm {ctg} \,\ángulo ACB$ $\omega$ $8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma$ $\alpha =\ángulo BAC,\beta =\ángulo ABC,\gamma =\ángulo ACB$

El triángulo también tiene un segundo punto de Brocard , tal que la recta se segmenta , y forma el mismo ángulo con los lados , y respectivamente: . El segundo punto de Brocard es conjugado isogonalmente al primer punto de Brocard, es decir, el ángulo es igual al ángulo . $\triángulo ABC$ $q$ $AQ$ ${\ estilo de visualización BQ}$ ${\ estilo de visualización CQ}$ $b$ $C$ $a$ ${\ estilo de visualización \ ángulo QCB = \ ángulo QBA = \ ángulo QAC}$ $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ ${\ estilo de visualización \ ángulo QCB = \ ángulo QBA = \ ángulo QAC}$

Los dos puntos de Brocard están muy relacionados entre sí, la diferencia entre ellos está en el orden en que se numeran los ángulos de un triángulo, así, por ejemplo, el primer punto de Brocard de un triángulo coincide con el segundo punto de Brocard de un triángulo . . $\triángulo ABC$ ${\ estilo de visualización \ triángulo ACB}$

Edificio

La construcción más famosa de los puntos de Brocard es en la intersección de círculos construidos de la siguiente manera: se dibuja un círculo a través de los puntos y tocando el lado (el centro de este círculo está en el punto que se encuentra en la intersección de la bisectriz perpendicular al lado por el que pasa la recta y perpendicular a ); de manera similar, se construye un círculo a través de los puntos yy tocando el lado ; el tercer círculo es a través de los puntos yy tangente al lado . Estos tres círculos tienen un punto común de intersección, que es el primer punto de Brocard del triángulo . El segundo punto de Brocard se construye de manera similar: se construyen círculos: a través y tangente a ; a través y , tocando ; a través y tocando . $\triángulo ABC$ $A$ $B$ $antes de Cristo$ $AB$ $B$ $antes de Cristo$ $B$ $C$ $C.A.$ $A$ $C$ $AB$ $\triángulo ABC$ $A$ $B$ $C.A.$ $B$ $C$ $AB$ $A$ $C$ $antes de Cristo$

Propiedades

Las coordenadas trilineales homogéneas para el primer y segundo punto de Brocard son y , respectivamente. Así, sus coordenadas baricéntricas, respectivamente [2] y ${\ estilo de visualización c/b:a/c:b/a}$ ${\ estilo de visualización b/c: c/a: a/b}$ ${\ estilo de visualización c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}}$ ${\ estilo de visualización a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.}$

Los puntos de Brocard se encuentran en el círculo de Brocard , un círculo diametralmente construido sobre un segmento que conecta el centro del círculo circunscrito con el punto de Lemoine . También contiene los vértices de los dos primeros triángulos de Brocard. Los puntos de Brocard se conjugan isogonalmente.

El punto de Brocard es uno de los 2 puntos dentro de un triángulo cuyos cevianos forman ángulos iguales con sus tres lados medidos en sus tres vértices.

Véase también

Notas

↑ Michiel Hazewinkel. Enciclopedia de Matemáticas, Suplemento III . — Springer Science & Business Media, 2001-12-31. - S. 83. - 564 pág. — ISBN 9781402001987 .
↑ Scott, JA "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472-477.

Literatura

S. I. Zetel . Nueva geometría triangular. - M. : Uchpedgiz, 1940. - S. 81-89. — 96 págs.
Akopyan, AV & Zaslavsky, AA (2007), Geometry of Conics , vol. 26, Mundo Matemático, Sociedad Matemática Americana , p. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9
Honsberger, Ross (1995), Capítulo 10. The Brocard Points, Episodes in Nineteenth Century Euclidean Geometry , Washington, DC: The Mathematical Association of America
Prasolov V. V. Brocard puntos y conjugación isogonal (Serie "Biblioteca "Educación matemática""). M.: MTSNMO, 2000. 24 p.
Yakovlev IV Materiales sobre matemáticas. Conjugación isogonal. Pág. 5-6// https://mathus.ru/math/isogonal.pdf