Subcategoría reflectante

En matemáticas , se dice que una subcategoría A de una categoría B es reflexiva si el funtor de incrustación de A en B tiene un adjunto izquierdo . Este funtor adjunto a menudo se llama reflector . La definición dual es A co-reflexiva si el funtor de incrustación tiene un adjunto derecho.

Definición explícita

Se dice que una subcategoría A de una categoría B es reflexiva en B si para cada objeto B de la categoría B existe un objeto de la categoría A y un morfismo B tal que para cualquier morfismo B hay un morfismo A único tal que : ${\ estilo de visualización A_ {B}}$ $r_{B}\dos puntos B\a A_{B}$ $f\dos puntos B\a A$ ${\overline {f}}\dos puntos A_{B}\a A$ ${\overline {f}}\circ r_{B}=f$

El par se llama A -reflector B. El morfismo se llama flecha reflectora A. ${\ estilo de visualización (A_ {B}, r_ {B})}$ ${\ estilo de visualización r_ {B}}$

Ejemplos

Álgebra

La categoría de grupos abelianos Ab es una subcategoría reflexiva de la categoría de grupos Grp . El reflector es un funtor que envía a cada grupo a su abelianización . A su vez, la categoría de grupos es una subcategoría reflectora de la categoría de semigrupos con división.
La categoría de campos es una subcategoría reflexiva de la categoría de anillos integrales (con homomorfismos de anillos inyectivos ). El reflector es un funtor que envía un anillo a su campo cociente .
La categoría de los grupos de torsión abelianos es una subcategoría correflectora de la categoría de los grupos abelianos . El reflector envía un grupo abeliano a su subgrupo de torsión .
La categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado k es una subcategoría reflexiva de la categoría de conjuntos. El reflector es un funtor que envía el conjunto B al espacio vectorial libre generado por los elementos de B sobre k .

Topología

Los espacios de Kolmogorov (T 0 -espacios) son una subcategoría reflexiva de Top , la categoría de espacios topológicos , y el factor de Kolmogorov es un reflector.
La categoría de espacios compactos de Hausdorff es una subcategoría reflexiva de espacios topológicos con el axioma de Tikhonov. Reflector - Compactación Stone-Cech .
La categoría de espacios métricos completos con asignaciones uniformemente continuas es una subcategoría completa reflectante de la categoría de espacios métricos. El reflector es la terminación del espacio métrico .

Análisis Funcional

La categoría de espacios de Banach es una subcategoría reflexiva completa de la categoría de espacios normados y operadores lineales acotados . Reflector - reposición según la norma.

Notas

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George E. Strecker. Categorías Abstractas y Concretas (neopr.) . — Nueva York: John Wiley & Sons , 1990.
Peter Freyd, André Scedrov. Categorías, Alegorías (indefinidas) . - Holanda Septentrional , 1990. - (Biblioteca Matemática Vol 39). - ISBN 978-0-444-70368-2 .
Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (neopr.) . — Berlín: Springer , 1968.
Marcos V. Lawson. Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . - World Scientific , 1998. - ISBN 978-981-02-3316-7 .