Paradoja del mentiroso

La paradoja del mentiroso es una familia de paradojas lógicas , cuya versión clásica es " Estoy mintiendo " o, más precisamente, " Esta afirmación es falsa ".

Suponiendo que la declaración es verdadera, entonces, dado que afirma ser falsa, es falsa, lo cual es una contradicción. Por el contrario, si asumimos su falsedad, entonces corresponde a lo que ella misma dice, y por lo tanto es verdadera, lo que también es una contradicción.

La esencia de la paradoja es la autorreferencia , es decir, la indicación de la oración a sí misma [1] .

Afirmaciones como la paradoja del mentiroso se han utilizado a menudo a lo largo de la historia de la filosofía : los antiguos griegos la conocían y los lógicos medievales la usaban como un rompecabezas, y también se ha convertido en un objeto fundamental de estudio en la lógica moderna [2] .

Historia

Declaraciones relacionadas

Una declaración temprana, similar a la paradoja del mentiroso, se atribuye al antiguo filósofo griego del siglo VII a. mi. Epiménides :

Epiménides: Todos los cretenses son mentirosos.

Dado que Epiménides es cretense , la declaración es similar a la paradoja del mentiroso. La pregunta es cuál es la negación de la afirmación "los cretenses siempre mienten": si es "los cretenses nunca mienten", entonces se produce la paradoja; si, sin embargo, "los cretenses no siempre mienten", como suele suponerse en lógica, entonces la declaración de Epiménides es simplemente falsa y no hay paradoja.

Esta paradoja es dada en el Nuevo Testamento por el Apóstol Pablo ( Tit. 1:12-13 ):

De ellos [de los cretenses] dijo un poeta: "Los cretenses son siempre mentirosos, malas bestias, vientres perezosos". La evidencia es correcta. Por tanto, repréndelos severamente, para que sean sanos en la fe...

Antigüedad

La propia paradoja del mentiroso se conocía en la antigua Grecia en el siglo IV a. mi. Eubúlides de Mileto lo incluyó en la lista de sus siete sofismas en la siguiente redacción [3] :

El hombre dice que está mintiendo. ¿Es cierto o falso lo que dice?

Edad Media

El filósofo medieval Jean Buridan usó la paradoja para probar la existencia de Dios . Consideró dos afirmaciones:

Dios existe.
Ninguna de estas dos afirmaciones es cierta.

Si la primera afirmación es falsa, entonces se obtiene una paradoja, y por lo tanto, según Buridan, debe ser verdadera [3] .

Variedades

La clásica paradoja

Considere la siguiente declaración:

{\ Displaystyle Fliar}

: La afirmación es falsa.

{\ Displaystyle Fliar}

Si la declaración es verdadera, entonces la declaración es falsa, una contradicción. Si es falsa, entonces la declaración no es falsa y, por lo tanto, verdadera, una contradicción. El último paso se basa en la ley del tercero excluido , que establece que cualquier enunciado lógico es verdadero o falso. La solución natural - la negación de la ley del tercero excluido - no funciona en otras versiones de la paradoja del mentiroso [4] . ${\ Displaystyle Fliar}$ ${\ Displaystyle Fliar}$ ${\ Displaystyle Fliar}$

Ley del tercero excluido

Considere la siguiente declaración:

ULiar

: La afirmación no es cierta.

ULiar

Si la afirmación es verdadera, entonces la afirmación no es verdadera, una contradicción. Si no es verdad, entonces la declaración es verdadera, una contradicción. Esta opción no utiliza la ley del tercero excluido , sin embargo, el enunciado se refiere a sí mismo [5] . $ULiar$ $ULiar$ ${\ Displaystyle Fliar}$

Otra formulación sugiere que la tercera opción, distinta de verdadero o falso, es la falta de sentido [6] :

MLiar

: La afirmación es falsa o no tiene sentido.

MLiar

Bucle lógico

Considere las siguientes declaraciones:

{\ Displaystyle Meseta}

: La afirmación es falsa.

{\ Displaystyle Sócrates}

{\ Displaystyle Sócrates}

: La afirmación es verdadera.

{\ Displaystyle Meseta}

Si es cierto, entonces es falso y no es cierto, una contradicción. Si es falso, entonces no es falso y verdadero, una contradicción. Corregir la falsedad por la falsedad y corregir la necesidad de la ley del tercero excluido es similar al ejemplo anterior. Tal variante no usa la referencia de la declaración a sí misma [7] . ${\ Displaystyle Meseta}$ ${\ Displaystyle Sócrates}$ ${\ Displaystyle Meseta}$ ${\ Displaystyle Meseta}$ ${\ Displaystyle Sócrates}$ ${\ Displaystyle Meseta}$

También son posibles bucles más largos, por ejemplo:

A

: La afirmación es falsa.

B

B

: La afirmación es falsa.

C

C

: La afirmación es falsa.

A

Paradoja de Curry

Primero considere la siguiente declaración:

DMentiroso

: La afirmación no es verdadera o

DMentiroso

{\ estilo de visualización 1 = 0}

Dado que una declaración falsa no afecta la verdad de , obtenemos una contradicción similar a la clásica paradoja del mentiroso [8] . ${\ estilo de visualización 1 = 0}$ $DMentiroso$

Ahora considere una declaración similar:

{\ Displaystyle curry}

: Si la afirmación es verdadera, entonces las sirenas existen.

{\ Displaystyle curry}

Esta afirmación, llamada paradoja de Curry , es casi igual a la anterior. Primero, se reemplaza una afirmación falsa ( ) por otra (las sirenas existen). En segundo lugar, la función lógica “(no ) o ” se reemplaza por la función “ sigue ”, mientras que los valores del par de variables y , para los cuales la función toma el valor verdadero, permanecieron sin cambios. Sin embargo, al mismo tiempo, apareció una vinculación con el mundo real, visible a primera vista [8] . ${\ estilo de visualización 1 = 0}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$

La paradoja de Apple

Considere la siguiente secuencia infinita de declaraciones:

{\displaystyle Yablo_{1))

: Todas las declaraciones en son falsas.

{\displaystyle Yablo_{i))

{\ estilo de visualización i> 1}

{\displaystyle Yablo_{2))

: Todas las declaraciones en son falsas.

{\displaystyle Yablo_{i))

{\ estilo de visualización i> 2}

{\displaystyle Yablo_{3))

: Todas las declaraciones en son falsas.

{\displaystyle Yablo_{i))

{\ estilo de visualización i> 3}

\ldots

Si es verdadero, entonces todos son falsos y, en particular, es falso . Por lo tanto, existe tal que es verdadero, una contradicción. Si es falso, entonces hay un verdadero para , y por lo tanto obtenemos una contradicción similar al primer caso [9] . ${\displaystyle Yablo_{1))$ ${\displaystyle Yablo_{i))$ ${\ estilo de visualización i> 1}$ ${\displaystyle Yablo_{2))$ ${\ estilo de visualización i> 2}$ ${\displaystyle Yablo_{k))$ ${\displaystyle Yablo_{1))$ ${\displaystyle Yablo_{i))$ ${\ estilo de visualización i> 1}$

Esta interminable cadena de afirmaciones, denominada paradoja de Yablo , a primera vista no contiene una referencia a sí misma , aunque existen discusiones científicas al respecto [9] .

Paradoja de Pinocho

Pinocho tenía una propiedad: cuando mentía (hablaba una mentira), su nariz aumentaba notablemente de inmediato.

¿Qué pasará si Pinocho dice: “Ahora se me alargará la nariz”?

Si la nariz no aumenta, entonces el niño mintió y la nariz tendrá que crecer allí mismo. Y si la nariz crece, entonces el niño dijo la verdad, pero entonces, ¿por qué creció la nariz?

Intentos de resolver la paradoja

El seguidor de Aristóteles Teofrasto escribió tres papiros sobre la paradoja, y el estoico primitivo Crisipo seis, pero no nos han llegado [3] .

Hay dos muertes conocidas de pensadores causadas por intentos de resolver esta paradoja. El lógico Diodorus Kronos imprudentemente juró abstenerse de comer hasta que se resolviera la paradoja, y pronto murió de agotamiento. El científico, gramático y poeta Filit Kossky , habiendo perdido la esperanza de encontrar una solución, se suicidó [10] o, estando mal de salud, murió de desnutrición e insomnio, demasiado arrastrado por el problema [11] . La inscripción en la tumba de Filit en la isla de Kos dice [3] :

¡Oh extraño! Soy Filit Kossky, Y fue el mentiroso el que me llevó a la muerte Y noches de insomnio por su culpa.

Aristóteles ofreció una variante de su solución. Señaló que los argumentos sofísticos (“Sobre las refutaciones sofísticas”, cap. 25) se basan en el hecho de que “algo [inherente] en el sentido propio se afirma como [inherente] en algún aspecto, o en alguna parte, o de alguna manera, o en relación con algo, pero no en general” (Arist. Soph. El. 081a 25) [12] . Por lo tanto, en la variante “una persona dice que miente”, el razonamiento es bastante correcto: “Sin embargo, nada impide que una misma persona diga la verdad en general, y en algún aspecto y sobre algo dice la verdad, o que en lo que era veraz, pero generalmente no era verdad” (Arist. Soph. El. 180b 5) [12] .

Así, el mentiroso se divide en "alguien que miente a menudo" y "alguien que miente en un momento determinado". Pero de esta manera, Aristóteles se limitó esencialmente a señalar la causa de la paradoja, y la variante de la paradoja en su forma directa “esta oración es falsa” no se resuelve de esta manera y no se “sobrepasa” [13] .

Frank Ramsey consideró la paradoja del mentiroso (en la forma de "Estoy mintiendo ahora") como lingüística, atribuida a la clase de semántica, no a la teoría de conjuntos [14] :

... las contradicciones del grupo B no son puramente lógicas y no pueden formularse únicamente en términos lógicos, pues todas ellas contienen alguna referencia al pensamiento, lenguaje o simbolismo, que no son términos formales sino empíricos. Por lo tanto, es posible que deban su origen no a una lógica o matemática erróneas, sino a ideas erróneas sobre el pensamiento y el lenguaje.

Varios otros autores a menudo intentan resolver la paradoja precisamente por medios lógico-matemáticos. Alfred Tarski , utilizando su teoría lógico-matemática, trató de reformular la paradoja del lenguaje cotidiano en algún lenguaje formal que tenga una estructura lógica inequívoca [15] . Formalmente, se puede decir que A. Tarski encontró una solución: considera que los predicados “verdadero” o “falso” son términos de un metalenguaje y no pueden aplicarse al lenguaje en el que se formula el enunciado original. Sin embargo, este razonamiento se basa en el concepto de un metalenguaje, y la paradoja "dentro" del lenguaje ordinario sigue sin resolverse [16] .

El tema de "traducir" la paradoja a un lenguaje lógico formal también está relacionado con el primer teorema de incompletitud de Gödel :

"El hecho de que el teorema de Gödel y la paradoja del mentiroso están estrechamente relacionados no solo es bien conocido, sino que incluso es una representación general de la comunidad lógica... El mismo Gödel no fue una excepción, haciendo un comentario en un artículo anunciando su resultado". La analogía entre este resultado y la antinomia de Richard salta a la vista, también hay una estrecha relación con la antinomia de "El mentiroso". Aquí nos enfrentamos a una oración que afirma su propia indemostrabilidad"" [17] .

G. Sereni señala que esta conexión es generalmente reconocida entre los especialistas, pero tiene la forma de una analogía, una similitud externa, y existen pocos estudios sobre la naturaleza exacta de esta conexión [18] . Van Heijenoort señala que si pasamos del concepto de verdad al de prueba, la paradoja desaparece [19] :

"... una oración que dice "No soy verdadero" ... obtenemos una paradoja ... Pero si de alguna manera construimos la oración "No soy demostrable", la paradoja no surge. Denotar por g la proposición, y con respecto al concepto de "prueba" simplemente suponer que nada de lo que se puede probar puede ser falso. Si g fuera demostrable, sería falso, por lo tanto, no es demostrable. Por lo tanto, es indemostrable y verdadero (porque eso es exactamente lo que afirma). La negación de g, que dice que es demostrable, es falsa, por tanto tampoco es demostrable. Nos deslizamos a lo largo de la paradoja, sin caer realmente en ella. La proposición g es indemostrable y verdadera; su negación es indemostrable y falsa. La única circunstancia que conduce a este sorprendente resultado es la introducción de una distinción entre "verdadero" y "probable"" [17] .

Sin embargo, esta es solo una solución a la paradoja si se acepta que lo indemostrable puede ser cierto.

Los problemas de lógica asociados a la paradoja varían según el concepto de consideración: si se trata de una ambigüedad o falta de sentido, o un ejemplo de una mezcla de lenguaje hablado y metalenguaje lógico, que no se separan en la vida cotidiana. Si se diferencian, entonces no se puede formular el enunciado “Estoy mintiendo”. Es muy posible que en el futuro esta paradoja de larga data conduzca al descubrimiento de otros problemas en el campo relevante [10] .

Mientras tanto, también hay intentos de rechazar la percepción de la paradoja, de pretender que no existe. Vdovichenko A.V. propone considerar la paradoja “como un material verbal natural”, indicando que la persona que expresa esta paradoja “no podía pensar en sí mismo en absoluto cuando pronunciaba sus palabras”, es decir, no se consideraba un “cretense”, aunque era (hablamos específicamente de la formulación “cretense”): “podía hablar afectivamente, teniendo en cuenta sólo su actitud hacia ellos, sin contarse entre ellos” [20] .

Asimismo, la solución a la paradoja es el uso de la lógica ternaria , en la que, además de los enunciados " Verdadero " y " Falso ", está el " Indefinido ". En este caso, la afirmación "Esta afirmación es falsa" se puede clasificar como indefinida, es decir, no verdadera y no falsa al mismo tiempo.

Véase también

Notas

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↑ Beall, Glanzberg, 2016 , preámbulo.
↑ 1 2 3 4 Dowden, 2018 , 1. Historia de la paradoja.
↑ Beall, Glanzberg, 2016 , 1.1 Mentiroso de simple falsedad.
↑ Beall, Glanzberg, 2016 , 1.2 Mentiroso simple-falso.
↑ Dowden, 2018 , 1a. Mentiroso reforzado.
↑ Beall, Glanzberg, 2016 , 1.3 Ciclos mentirosos.
↑ 1 2 Beall, Glanzberg, 2016 , 1.4 Compuestos booleanos.
↑ 1 2 Beall, Glanzberg, 2016 , 1.5 Secuencias infinitas.
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Fuentes

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