Módulo plano

Un módulo plano sobre R es un módulo tal que la multiplicación de tensores por este módulo conserva secuencias exactas . Se dice que un módulo es estrictamente plano si la secuencia de productos tensoriales es exacta si y solo si la secuencia original es exacta.

Los espacios vectoriales , libres y, más generalmente, los módulos proyectivos son planos. Para módulos generados finitamente sobre anillos de Noether , los módulos planos son lo mismo que los módulos proyectivos. Para módulos generados finitamente sobre anillos locales, todos los módulos planos son gratuitos . [una]

El concepto de módulo plano fue introducido por Serre en 1955.

Definición

Se pueden dar varias definiciones equivalentes de un módulo plano.

Se dice que un módulo (izquierdo) es plano si y solo si el funtor es exacto . $R$ $METRO$ $N\mapsto M\otimes_{R}N$
Dado que el funtor producto tensorial siempre es exacto , el requisito anterior se puede relajar. Es decir, un -módulo es plano si, para cualquier homomorfismo inyectivo de -módulos , el mapa inducido también es inyectivo. $R$ $METRO$ $R$ ${\ estilo de visualización \ phi: K \ a L}$ $F_{M}(\phi ):M\otimes_{R}K\to M\otimes_{R}L$
Un módulo es plano si para cada ideal finitamente generado en el anillo (con incrustación natural ) el mapeo inducido es inyectivo. $METRO$ $R$ $I\hookrightarrow R$ $I\otimes_{R}M\to R\otimes_{R}M\cong M$

Propiedades de módulos planos sobre un anillo conmutativo

Para cualquier sistema multiplicativo S del anillo R , el anillo de cocientes S −1 R es un R -módulo plano .

Un módulo generado finitamente es plano si y solo si es localmente libre. Un módulo localmente libre sobre un anillo R es un módulo M tal que su localización con respecto a cualquier ideal primo es un módulo libre sobre el anillo de cocientes . $M_{\mathfrak{p))$ $R_{\mathfrak {p))$

Si el anillo S es un R - álgebra , es decir, existe un homomorfismo , tiene sentido preguntarse si esta álgebra es un R - módulo plano. Resulta que S es un módulo estrictamente plano si y sólo si todo ideal primo del anillo R es la preimagen bajo la acción de f de algún ideal primo de S , es decir, cuando la aplicación es sobreyectiva (ver el artículo Spectrum of un anillo ). $f:R\a S$ $f^{*}\colon \mathrm {Especificación} (S)\a \mathrm {Especificación} (R)$

Los módulos planos se pueden especificar en la siguiente cadena de inclusiones:

Módulos libres de torsión ⊃ módulos planos ⊃ módulos proyectivos ⊃ módulos libres .

Para algunas clases de anillos, las inclusiones inversas también son válidas: por ejemplo, todo módulo libre de torsión sobre un anillo de Dedekind es plano, un módulo plano sobre un anillo artiniano es proyectivo y un módulo proyectivo sobre un dominio ideal principal (o sobre un anillo local ) es gratis.

Colimites categóricos

Las sumas directas y los límites directos de los módulos planos son planos. Esto se sigue del hecho de que el producto tensorial conmuta con sumas directas y límites directos (además, conmuta con todos los colímites ). Los submódulos y módulos cocientes de un módulo plano no son necesariamente planos (por ejemplo, el módulo Z / 2Z no es plano ). Sin embargo, si un submódulo de un módulo plano es un sumando directo en él , entonces el factor con respecto a él es plano.

Un módulo es plano si y solo si es el límite directo de módulos libres generados finitamente . [2] Esto implica, en particular, que todo módulo plano finitamente presentado es proyectivo.

Álgebra homológica

La propiedad de "planitud" de un módulo se puede expresar usando el funtor Tor , el funtor derivado por la izquierda para el producto tensorial. Un R - módulo M izquierdo es plano si y solo si Tor n R (-, M ) = 0 para todos (es decir, cuando Tor n R ( X , M ) = 0 para todos y todos los R - módulos X derechos ), la definición de un módulo derecho plano es similar. Usando este hecho, uno puede probar varias propiedades de una corta secuencia exacta de módulos: $n\geq 1$ $n\geq 1$

0\longrightarrow A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0

Si A y C son planos, entonces B es plano.
Si B y C son planos, entonces A es plano.

Si A y B son planos, C no es plano en general. Sin embargo

Si A es un sumando directo del módulo B y B es plano, entonces A y C son planos.

Disolventes planos

La resolución plana del módulo M es la resolución de la forma

… → F 2 → F 1 → F 0 → METRO → 0

donde todas las F i son planas. Las resoluciones planas se utilizan para calcular el functor Tor .

La longitud de un resolvente plano es el índice más pequeño n tal que F n es distinto de cero F i =0 para todo i mayor que n . Si el módulo M admite una resolución plana finita, su longitud se denomina dimensión plana del módulo . [3] , de lo contrario se dice que la dimensión plana es infinita. Por ejemplo, si el módulo M tiene una dimensión plana 0, entonces la precisión de la secuencia 0 → F 0 → M → 0 implica que M es isomorfo a F 0 , es decir, es plano.

Notas

↑ Matsumura, 1970 , Proposición 3.G
↑ Lazard, D. (1969), Autour de la platitude , Bulletin de la Société Mathématique de France T. 97: 81–128 , < http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__81_0 > Archivado desde el 3 de marzo 2014 en la Wayback Machine
↑ Lam, 1999 , pág. 183.

Literatura

Bourbaki N. Álgebra conmutativa. - M: Mir, 1971.
Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , vol. 150, Textos de posgrado en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 ; 978-0-387-94269-8
Enochs, Edgar E. (1981), Tapas planas e inyectivas, sobres y disolventes , Israel J. Math. V. 39 (3): 189–209, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF0276084
Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Posgrado en Matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5
Mac Lane, Saunders (1963), Homología , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Prensa académica
Matsumura y Hideyuki (1970), Álgebra conmutativa
Serre, Jean-Pierre (1956), Géométrie algébrique et géométrie analytique , Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier vol 6: 1–42, ISSN 0373-0956 , doi : 10.5802/aif.59 , < http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 >