Empaque denso de esferas iguales

Ilustración de empaquetamiento denso de esferas iguales en redes HP (HPC) (izquierda) y FCC (derecha)
Empaquetadura FCC considerada en la dirección de los ejes de simetría de cuarto orden
Capa separada de empaque denso
Se muestra el apilamiento de once bolas de la red GP (GPU) . La colocación de HP (HPC) difiere de las tres capas superiores de colocación de FCC en la figura a continuación solo en la capa inferior. Se puede convertir a apilamiento fcc girando o desplazando una de las capas. En un cristal real de gran tamaño, esto también puede suceder bajo ciertas condiciones (será una transición de fase ).
Varias capas de colocación de FCC . Observe cómo las bolas adyacentes a lo largo de cada borde de un tetraedro regular están posicionadas entre sí y compárelas con el empaque HP (HPC) en la figura anterior.

El empaquetamiento denso de esferas iguales es una disposición de esferas idénticas que no se superponen en el espacio, en la que la proporción de espacio ocupado por las regiones internas de estas esferas ( densidad de empaquetamiento ) es máxima, así como el problema de la geometría combinatoria para encontrar este embalaje [1] .

Carl Friedrich Gauss demostró que la densidad de empaquetamiento más alta que se puede lograr mediante un empaque regular simple ( retícula ) es

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2))))\simeq 0.74048.

Esta densidad se logra en empaques en redes cúbicas centradas en las caras (fcc) y hexagonales (HP, HCP [2] ) (ver más abajo). La conjetura de Kepler establece que este empaque tiene la mayor densidad entre todos los posibles empaques de esferas, regulares e irregulares. Esta hipótesis fue probada por T. K. Halesdespués de muchos años de programar los cálculos necesarios para la prueba [3] [4] .

Lattices fcc y GP (GPU)

CHC		GPU (GPU)

Un paquete FCC se puede orientar de diferentes maneras y, según la orientación, su capa individual tiene un paquete cuadrado o triangular. Esto se puede ver desde el cuboctaedro con 12 vértices que representan las posiciones de los centros de las 12 esferas alrededor de la esfera central. El empaque HP (HPC) se puede considerar como capas empaquetadas en un empaque triangular, donde las esferas de la capa vecina se ubican en los vértices de un bi-domo recto de tres pendientes que pasa por los centros de la esfera de esta capa.
Comparación de paquetes FCC y HP (HPC)

Embalaje HP (HPC) (izquierda) y embalaje FCC (derecha). Los contornos de las rejillas de Bravais correspondientes se muestran en rojo. Las letras muestran qué capas en el paquete coinciden (no hay cambio relativo entre sí en el plano horizontal): por ejemplo, en el paquete HP (HPC) sobre la capa A está la capa B, y sobre ella nuevamente la capa A, en en el que las esferas están en las mismas posiciones que en otras capas A. En el relleno fcc se muestran tres capas, y todas son diferentes: encima de la capa A está B, encima de B está C, y solo encima de C está A de nuevo. ) envasado cortando las capas, como muestra la línea de puntos.

Hay dos retículas regulares simples en las que se alcanza la máxima densidad media. Se denominan cúbicas centradas en las caras ( fcc ) (o cúbicas compactas ) y hexagonales compactas ( HP o HCP = Hexagonal close-packed cell or lattice), dependiendo de las simetrías de la red. Ambas redes se basan en capas de esferas centradas en los vértices de un mosaico triangular. Ambas redes se pueden representar como una pila de láminas idénticas, dentro de las cuales las esferas están dispuestas en una red triangular (capas compactas); FCC y HP (HCP) difieren en la posición de estas hojas entre sí.

La red fcc en matemáticas se conoce como la red generada por el sistema raíz A 3 [5] . En la literatura inglesa, este tipo de celda se denomina cúbica centrada en las caras ( fcc ). La red HP (HPC) en la literatura inglesa se llama hexagonal close-packed ( hcp ).

Ubicación y espacio en blanco

Tomando una de las capas de bolas compactas como punto de referencia, podemos dividir el resto en diferentes tipos dependiendo de cómo se ubiquen en relación con la primera capa en términos de desplazamiento horizontal. Hay tres de estos tipos, y se les conoce comúnmente como A, B y C.

Con respecto al nivel con la bola A (ver la figura de la izquierda "Comparación de empaquetaduras fcc y hp (hcp)"), son posibles varias posiciones de las bolas B y C. Cualquier secuencia de posiciones A, B y C en capas sin la repetición en capas adyacentes es posible y da un relleno de la misma densidad.

El embalaje más correcto:

FCC = ABCABCA (los niveles coinciden después de dos);
GP (GPU) = ABABABA (los niveles coinciden a través de uno).

Sin embargo, se puede lograr la misma densidad de empaquetamiento mediante estratificación alternativa de los mismos empaquetamientos densos de esferas en el plano, incluidas estructuras que son aperiódicas en la dirección de las capas de apilamiento. Hay un número incontable de disposiciones irregulares de planos (por ejemplo, ABCACBABABAC…), que a veces se denominan "empaquetaduras de Barlow", en honor al cristalógrafo William Barlow [6] .

En el empaque compacto, la distancia entre los centros de las esferas en el plano de la capa de empaque compacto es igual al diámetro de la esfera. La distancia entre los centros de las esferas en la proyección sobre el eje perpendicular a la capa compacta es igual a

{\text{tono}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.81649658d,

donde d es el diámetro de la esfera. Esto se sigue de la disposición tetraédrica de esferas compactas.

Tanto en los diseños FCC como HPC (HCP), cada esfera tiene doce vecinos (en otras palabras, el número de coordinación para cualquier esfera en ellos es 12). Alrededor de la esfera, hay áreas vacías rodeadas por seis esferas (octaédricas) y áreas vacías más pequeñas rodeadas por cuatro esferas (tetraédricas). Las distancias a los centros de estas regiones vacías desde los centros de las esferas circundantes son iguales para tetraédricas y √2 para octaédricas [Comm 1 ] ${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ tfrac {3} {2}}}}$ espacios, si el radio de la esfera es igual a 1. El relleno FCC se obtiene colocando bolas sobre vacíos octaédricos en la siguiente capa, HP (HCP) - sobre algunos tetraédricos.

Construcción de celosía

Cuando se forma una red de empaque de bolas, se debe tener en cuenta que si dos esferas se tocan, se puede dibujar una línea desde el centro de una esfera hasta el centro de la otra esfera, y esta línea pasa por el punto de contacto. La distancia entre los centros, el camino más corto entre puntos, está justo en esta línea recta, por lo que esta distancia es igual a r 1 + r 2 donde r 1 es el radio de una esfera y r 2 es el radio de la otra. En empaque cerrado, todas las esferas tienen el mismo radio r , por lo que la distancia entre los centros es simplemente 2r .

Simple HP(HPC)-lattice

Para formar un empaquetamiento hexagonal denso ABAB-… de esferas, las coordenadas de los puntos de la red serán los centros de las esferas del empaquetamiento. Suponga que el objetivo es llenar la caja con esferas de acuerdo con el esquema HP (HPC). La caja está ubicada en el sistema de coordenadas x - y - z .

Primero formamos una serie de esferas; sus centros estarán en la misma línea recta. Los valores de la coordenada x cambiarán en 2 r , ya que la distancia entre los centros de dos esferas que se tocan es 2 r . Para estas bolas, las coordenadas y y z serán las mismas. Para simplificar, asumimos que las coordenadas y y z de las bolas de la primera fila son iguales a r , que corresponde a la ubicación de las superficies de las bolas en planos con coordenadas cero y y z . Así, las coordenadas de las bolas de la primera fila quedarán como ( r , r , r ), (3 r , r , r ), (5 r , r , r ), (7 r , r , r ),… .

Ahora formemos la segunda fila de esferas. De nuevo, los centros estarán sobre una línea recta y las coordenadas x diferirán en 2 r , pero las bolas se desplazarán a lo largo del eje en r , de modo que las coordenadas x de sus centros serán iguales a las coordenadas de los puntos de contacto de las bolas de la primera fila. Dado que cada esfera de la nueva fila toca dos esferas de la inferior, sus centros forman triángulos equiláteros (regulares) con los centros de las bolas vecinas. Todas las longitudes de los lados serán iguales a 2 r , por lo que la diferencia entre las filas a lo largo de la coordenada y será √ 3 r . Es decir, la segunda línea tendrá las coordenadas

\left(2r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(4r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(6r, r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(8r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .

La siguiente fila de esferas sigue este patrón, desplazando la fila a lo largo del eje x en r ya lo largo del eje y en √ 3 r . Agregamos filas hasta llegar al borde del cuadro.

En el empaquetamiento ABAB-…, los planos de las esferas impares tendrán exactamente las mismas coordenadas x e y ; sólo cambian las coordenadas z , lo que también es cierto para planos pares . Ambos tipos de planos se forman según el mismo esquema, pero la posición de la primera esfera de la primera fila será diferente.

Usamos la construcción descrita anteriormente como capa A. Coloque la esfera encima de esta capa de modo que toque tres esferas de la capa A. Estas tres esferas ya se están tocando entre sí, formando un triángulo equilátero. Como estas tres esferas son tangentes a la esfera añadida, los cuatro centros forman un tetraedro regular [7] con todos los lados iguales a 2 r . La altura de este tetraedro es la diferencia en coordenadas z entre las dos capas y es igual a . La combinación con las coordenadas x e y da los centros de la primera fila del plano B: ${\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}$

\left(2r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right), \ \left(4r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \ izquierda(6r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\derecha),\ \izquierda( 8r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\dots .

Las coordenadas de la segunda fila siguen el patrón descrito anteriormente:

\left(r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right) ,\ \left(3r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right), \ \left(5r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\dots .

La diferencia de las coordenadas z con la siguiente capa A es nuevamente igual a , y las coordenadas x e y son iguales a las coordenadas de la primera capa A [8] . ${\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}$

En general, las coordenadas de los centros se pueden escribir como:

{\begin{bmatrix}1+2i+((j\ +\ k){\bmod {2)))\\1+{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{ 3}}(k{\bmod {2}})\right]\\1+{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatriz}}r

donde i , j y k son los índices x , y y z (basados en cero), y " a mod b " significa "tomar el resto" de la división por . $a$ $b$

Variantes y generalizaciones

Espacios de otras dimensiones

Se puede considerar un problema similar de empaquetamiento denso de hiperesferas (o círculos) en el espacio euclidiano de dimensión distinta de 3. En particular, en el espacio euclidiano bidimensional, el mejor relleno es colocar los centros de los círculos en los vértices de un parquet. formado por hexágonos regulares , en los que cada círculo está rodeado por otros seis. Es a partir de tales capas que se construyen los empaques fcc y GP (HCP). Densidad de este paquete:

{\frac {\pi }{2{\sqrt {3))))\aproximadamente 0,9069

[1] .

En 1940 se comprobó que este empaque es el más denso.

En 2016, la matemática ucraniana Marina Vyazovskaya resolvió el problema del empaquetamiento de bolas en dos espacios de dimensiones superiores : ocho dimensiones [9] [10] [11] y, en coautoría, en 24 dimensiones [12] [13] . La solución de Vyazovskaya al caso de ocho dimensiones tiene solo 23 páginas y es "asombrosamente simple" [13] en comparación con las 300 páginas de texto y las 50.000 líneas de código para probar la conjetura de Kepler [14] para el espacio tridimensional.

La densidad más alta se conoce solo para las dimensiones de espacio 1 (empaque cerrado), 2 ( retícula triangular ), 3 (fcc, HP (HCP) y otros empaques construidos a partir de capas de celosía triangular), 8 ( retícula E8 ) y 24 ( retícula de lixiviación ). ) [ 15] .

Completando el espacio restante

Los empaques fcc y fcc (hcp) son los empaques más densos conocidos de esferas idénticas con máxima simetría (la unidad de repetición más pequeña). Se conocen empaquetaduras de esferas más estrechas , pero utilizan esferas de diferentes diámetros. Los empaques con una densidad de 1 que llenan el espacio por completo requieren cuerpos no esféricos, como panales , o un número infinito de esferas en un volumen finito ( cuadrícula apolínea ).

Panales

Si reemplazamos cada punto de contacto de dos esferas con un borde que conecta los centros de las esferas en contacto, obtenemos tetraedros y octaedros con lados de igual longitud. El apilamiento FCC da panales tetraédricos-octaédricos . El apilamiento HP (HPC) da panales tetraédricos-octaédricos girados . Si, en cambio, cualquier esfera se expande con puntos que están más cerca de ella que de cualquier otra esfera, se obtienen panales duales: panales dodecaédricos rómbicos para FCC y panales dodecaédricos traperómbicos para HP.

Las burbujas esféricas en agua jabonosa según el esquema FCC o HCP (HCP), cuando el agua entre las burbujas se seca, también toman la forma de panales rombododecaédricos o trapecrombicos dodecaédricos . Sin embargo, tales espumas FCC o HP (HPC) con un contenido líquido muy bajo son inestables, ya que la ley de Plate no se cumple para ellas . La espuma de Kelvin y la estructura de Weir y Pelan son más estables, tienen menor energía interfacial con una pequeña cantidad de líquido [16] .

Empaque denso de bolas en la vida

Muchos cristales tienen una estructura de empaquetamiento cerrado de un tipo de átomo, o un empaquetamiento cerrado de iones grandes con iones más pequeños llenando el espacio entre ellos. Como regla general, las disposiciones cúbica y hexagonal tienen una energía muy similar y es difícil predecir qué forma tomará el cristal.

Thomas Harriot , alrededor de 1585, emprendió la primera reflexión matemática sobre el apilamiento de bolas en el contexto del apilamiento de balas de cañón y consideró la red fcc: las balas de cañón generalmente se apilaban en marcos de madera rectangulares o triangulares, formando pirámides de tres o cuatro lados; ambos apilamientos dan una red cúbica centrada en las caras y difieren solo en la orientación relativa a la base. El empaquetamiento cerrado hexagonal da como resultado una pirámide hexagonal. En relación con el apilamiento de balas de cañón, también se conoce el problema del mismo nombre de la teoría de números.

Véase también

número de contacto
El problema de portada más raro
Algoritmo de Lubachevsky-Stilinger
Células de Benard
Singonía
sistema cúbico
paraleloedro
la hipótesis de Kepler
Índices de Miller
Constante de Hermite
Empaquetamiento denso aleatorio

Comentario

↑ La distancia al centro del área vacía del tetraedro es igual al radio del círculo circunscrito al tetraedro de lado 2, es decir . Lee la fórmula del radio de la circunferencia circunscrita en el artículo Tetraedro regular . La distancia al centro de una región octaédrica es igual al radio de la circunferencia circunscrita a esta región de lado 2. La fórmula del radio de esta región se puede obtener en el artículo Octaedro ${\ estilo de visualización 2 {\ sqrt {\ tfrac {3} {8}}}}$

Notas

↑ 1 2 Sloan N. J. A. Empaque de bolas // En el mundo de la ciencia . - 1984. - Nº 3 . - S. 72-82 .
↑ Podolskaya E. A., Krivtsov A. M. Descripción de la geometría de los cristales con una estructura compacta hexagonal basada en pares / Instituto de Problemas de Ingeniería Mecánica RAS, San Petersburgo. // Russia Solid State Physics, 2012. - V. 54. - Número. 7.- S.- 1327-1334.
↑ Hales, TC (1998), Una descripción general de la conjetura de Kepler, arΧiv : math/9811071v2 .
↑ Szpiro, 2003 , pág. 12–13.
↑ Conway, Sloane, 1998 , pág. Sección 6.3.
↑ Barlow, 1883 , pág. 186–188.
↑ Grunch.net .
↑ Weisstein, Eric W. Hexagonal Close Packing en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Kevin Knudson. Apilando balas de cañón en 8 dimensiones // Forbes . - 2016. - 29 de marzo.
↑ Frank Morgan. Embalaje de esferas en la dimensión 8 // The Huffington Post . - 2016. - 21 de marzo.
↑ Andreas Loos. So stapeln Mathematiker Melonen (alemán) // Die Zeit . - 2016. - 21 de marzo.
↑ Lisa Grossman. Nueva prueba matemática muestra cómo apilar naranjas en 24 dimensiones // New Scientist . - 2016. - 28 de marzo.
↑ 12 Érica Klarreich . Empaquetamiento de esferas resuelto en dimensiones superiores // Quanta : Magazine. - 2016. - 30 de marzo.
↑ Natalia Wolchover. ¿En las computadoras en las que confiamos? (Inglés) // Quanta : Revista. - 2013. - 22 febrero.
↑ Cohn, Kumar, Viller, Radchenko, Viazovska, 2017 .
↑ Cantat, Cohen-Addad, Elias, Graner et al., 2013 .

Literatura

Jorge Szpiro. Matemáticas: ¿Se acumula la prueba? // Naturaleza. - 2003. - julio ( v. 424 ). -doi : 10.1038/ 424012a .
Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska. El problema de la esfera empaquetándose en la dimensión 24. - 2017. - febrero. -arXiv : 1603.06518v2 . _
John Horton Conway , Neil James Alexander Sloane . Sección 6.3 // Empaquetaduras, redes y grupos de esferas. - Springer, 1998. - T. 290. - (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-98585-9 .
Guillermo Barlow. Naturaleza probable de la simetría interna de los cristales // Naturaleza. - 1883. - T. 29 .
Isabelle Cantat, Sylvie Cohen-Addad, Florence Elias, François Graner, Reinhard Höhler, Ruth Flatman, Olivier Pitois. Espumas, Estructura y Dinámica. - Oxford: Oxford University Press, 2013. - ISBN 9780199662890 .

Enlaces

P. Krishna & D. Pandey, Unión Internacional de Cristalografía "Estructuras Empaquetadas" por University College Cardiff Press. Cardiff, Gales. PDF Archivado el 29 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
D.K. Un nuevo rompecabezas: colocar bolas en un cubo // Kvant . - 1990. - Nº 5 . - S. 82 .
en el embalaje de la esfera . Grunch.net. Consultado el 12 de junio de 2014. Archivado desde el original el 20 de marzo de 2015. (indefinido)

Tareas de embalaje
círculos de embalaje	En un círculo / en un triángulo rectángulo / en un triángulo rectángulo isósceles / en un cuadrado alfombra apolonio teorema de empaque circular Problema de Tammes (sobre la esfera)
Embalaje de globos	Apoloniev en una bola embalaje denso número de contacto Límite de empaquetamiento esférico (Hamming)
Otros paquetes	a los contenedores tetraedros Conjuntos
Rompecabezas	Conway Slotobera - Graatsmy