Función móvil

Una singularidad en movimiento (o punto singular en movimiento ) de una solución general de una ecuación diferencial ordinaria es un punto singular de la solución que es diferente para diferentes soluciones particulares de la misma ecuación. Es decir, se dice que la solución general de una ecuación diferencial tiene una singularidad móvil si distintas soluciones particulares de esa ecuación tienen una singularidad en distintos puntos, dependiendo del parámetro (por ejemplo, de las condiciones iniciales) que determina una determinada solución particular. [1] . Los puntos singulares que no dependen de una solución particular se denominan singularidades fijas (o puntos singulares fijos ). Las singularidades en movimiento juegan un papel importante en el estudio de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano complejo [2] .

Ejemplo

Considere, por ejemplo, la ecuación

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2y}}

Sus soluciones serán para cualquier constante c . Estas soluciones tienen un punto singular en . Por lo tanto, esta ecuación tiene una singularidad móvil. $y={\sqrt {xc))$ $x=c$

Ecuaciones diferenciales lineales

Por otro lado, se sabe que una ecuación diferencial lineal puede tener un punto singular solo en los puntos singulares de la ecuación misma. Por lo tanto, una ecuación diferencial lineal no puede tener una singularidad en movimiento [2] .

La propiedad Painlevé

Un punto singular para una función compleja de varios valores se llama crítico (o punto de bifurcación ) si la función cambia de valor al dar la vuelta a este punto (por ejemplo, es un punto crítico para la función ). $z=0$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {z))}$

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria tiene la propiedad de Painlevé si sus soluciones no tienen singularidades móviles críticas.

Por ejemplo, la ecuación tiene soluciones , donde es una constante arbitraria. Estas soluciones tienen un punto móvil singular no crítico . La ecuación tiene soluciones . El punto singular de esta ecuación ya será crítico. Por lo tanto, la ecuación tiene la propiedad de Painlevé, pero no. $w'=-w^{2}$ ${\ estilo de visualización (c + z) ^ {-1))$ $C$ ${\ estilo de visualización z = -c}$ ${\ estilo de visualización w'=-w^{3))$ ${\ estilo de visualización (c + 2z) ^ {-1/2}}$ $w'=-w^{2}$ ${\ estilo de visualización w'=-w^{3))$

Paul Painlevé y sus alumnos demostraron que se puede obtener una solución general para ecuaciones con esta propiedad. Si la ecuación no tiene la propiedad Painleve, entonces, por regla general, no es posible obtener su solución [2] .

El estudio de las ecuaciones diferenciales sobre la propiedad de Painlevé se denomina análisis de Painlevé .

Historia

El concepto de punto singular en movimiento fue introducido por Lazar Fuchs . En 1884, Fuchs demostró que entre todas las ecuaciones de primer orden de la forma

w'=F(z,w),

para lo cual la función es localmente analítica en el primer argumento y racional en el segundo, sólo la ecuación de Riccati no tiene puntos singulares críticos móviles . $F$

Sofia Kovalevskaya , estudiando el problema de la rotación de un trompo, demostró que las soluciones a este problema no tienen puntos singulares críticos móviles en solo tres casos. Las soluciones al problema en los dos primeros casos fueron obtenidas previamente por Leonhard Euler y Joseph Lagrange . Kovalevskaya recibió soluciones para el tercer caso. Sofya Kovalevskaya fue así la primera en descubrir las ventajas de las ecuaciones diferenciales que tienen la propiedad que ahora llamamos propiedad de Painlevé. En 1888, recibió el Premio Borden de la Academia de Ciencias de París por este trabajo .

Paul Painlevé estudió ecuaciones diferenciales de segundo orden alrededor de 1900

w''=F(z,w,w'),

donde la función es localmente analítica en el primer argumento y racional en los dos últimos. Painlevé y sus alumnos Bertrand Gambier , René Garnier y otros, demostraron que entre todas las posibles ecuaciones de este tipo, solo 50 ecuaciones canónicas tienen la propiedad de Painlevé. Resultó que 44 de estas 50 ecuaciones se pueden expresar en términos de funciones conocidas, y para las soluciones de las seis ecuaciones restantes, Painlevé y Gambier introdujeron funciones especiales, que ahora se llaman trascendentes de Painlevé [2] . $F$

Véase también

Teorema de Painlevé

Notas

↑ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros : métodos asintóticos y series de perturbaciones . - Springer, 1999. - Pág. 7.
↑ 1 2 3 4 N. A. Kudryashov . La propiedad de Painlevé en la teoría de ecuaciones diferenciales // Soros Educational Journal : Journal. - 1999. - Nº 9 . - S. 121-122 . Archivado desde el original el 1 de junio de 2016.