Campo de jacobi

Un campo de Jacobi es un campo vectorial a lo largo de una geodésica en una variedad de Riemann que describe la diferencia entre esta geodésica y una geodésica "infinitamente cercana" a ella. Se puede decir que todos los campos de Jacobi a lo largo de una geodésica forman un espacio tangente a ella en el espacio de todas las geodésicas . $\gama$

Nombrado en honor a Carl Gustaf Jacob Jacobi .

Definición

Sea una familia de geodésicas uniformes de un parámetro con , entonces el campo $\gamma _{\tau}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {0} = \ gamma}$

J(t)=\left.{\frac {\parcial \gamma _{\tau}(t)}{\parcial \tau }}\right|_{\tau =0}

se llama campo de Jacobi.

Propiedades

El campo de Jacobi J satisface la ecuación de Jacobi : $J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,$

donde es la derivada covariante con respecto a la conexión Levi-Civita , es el tensor de curvatura y es el vector tangente a .

J''(t)={\frac{D^{2}}{dt^{2}}}J

R

T(t)=d\gamma(t)/dt

\gama

En variedades riemannianas completas , cualquier campo que satisfaga la ecuación de Jacobi es un campo de Jacobi, es decir, tiene una familia de geodésicas asociadas a ese campo según la definición. $\gamma _{\tau}$

La ecuación de Jacobi es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden .
- En particular, y en algún momento definir de forma única el campo de Jacobi. $j$ ${\frac{D}{dt}}J$ $\gama$
- Además, el conjunto de campos de Jacobi a lo largo de la geodésica constituye un espacio vectorial real cuya dimensión es el doble de la dimensión de la variedad.

Cualquier campo de Jacobi se puede representar únicamente como una suma , donde es una combinación lineal de campos de Jacobi triviales, y ortogonalmente para todos . $j$ ${\ estilo de visualización T + I}$ $T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)$ $Eso)$ ${\dot {\gamma}}(t)$ $t$
- En este caso, el campo corresponde a la misma familia de geodésicas, solo que con una parametrización modificada. $yo$

Para dos campos de Jacobi cualesquiera y la cantidad $Eso)$ $j(t)$ $\langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle$

no depende de .

t

Ejemplo

En la esfera, las geodésicas a través del Polo Norte son grandes círculos . Considere dos geodésicas de este tipo y con parametrización natural , separadas por un ángulo . La distancia geodésica es $\ gamma _ {0}$ $\gamma _{\tau}$ ${\ estilo de visualización t \ en [0, \ pi]}$ $\tau$ ${\ estilo de visualización d (\ gamma _ {0} (t), \ gamma _ {\ tau} (t))}$

d(\gamma_{0}(t),\gamma_{\tau}(t))=\operatorname {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+ \cos ^{2}t\nombre del operador {tg} ^{2}(\tau /2))){\bigg)}.

Para obtener esta expresión, necesitas conocer las geodésicas. El resultado más interesante es este:

{\ estilo de visualización d (\ gamma _ {0} (\ pi), \ gamma _ {\ tau} (\ pi)) = 0}

para cualquier

\tau

En cambio, podemos considerar las derivadas con respecto a : $\tau$ $\tau=0$

{\frac {\parcial }{\parcial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau}(t ))=|J(t)|=\sen t.

De nuevo obtenemos la intersección de las geodésicas en . Nótese, sin embargo, que para calcular esta derivada no es necesario saber ; todo lo que tienes que hacer es resolver la ecuación ${\ estilo de visualización t = \ pi}$ ${\ estilo de visualización d (\ gamma _ {0} (t), \ gamma _ {\ tau} (t))}$

{\ estilo de visualización y''+y=0}

para algunas condiciones iniciales dadas.

Los campos de Jacobi dan una generalización natural de este fenómeno para variedades arbitrarias de Riemann .

Solución de la ecuación de Jacobi

Dejar ; agregue otros a este vector para obtener una base ortonormal en . Vamos a moverlo por traslación paralela para obtener una base en cualquier punto . Esto da una base ortonormal con . El campo de Jacobi se puede escribir en coordenadas asociadas a esta base: , de donde: $e_{1}(0)={\punto {\gamma}}(0)/|{\punto {\gamma}}(0)|$ ${\grande \{}e_{i}(0){\grande \))$ $T_{\gamma (0)}M$ $\{e_{i}(t)\}$ $\gama$ $e_{1}(t)={\punto {\gamma}}(t)/|{\punto {\gamma}}(t)|$ $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$

{\frac {D}{dt}}J=\sum_{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D ^{2}}{dt^{2}}}J=\sum_{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t ),

y la ecuación de Jacobi se puede reescribir como el sistema

{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{ j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0

para todos Así obtenemos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Dado que la ecuación tiene coeficientes uniformes , tenemos que existen soluciones para todos y son únicas si y se dan para todos . $k$ $t$ ${\ estilo de visualización y ^ {k} (0)}$ ${\frac {dy^{k}}{dt}}(0)$ $k$

Ejemplos

Considere una geodésica con un marco ortonormal paralelo , construida como se describe arriba. $\gamma (t)$ ${\ Displaystyle e_ {i} (t)}$ $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|$

Los campos vectoriales a lo largo de , dados por y , son campos de Jacobi. $\gama$ ${\dot {\gamma}}(t)$ $t{\dot {\gamma}}(t)$
En el espacio euclidiano (y también para espacios de curvatura de sección cero constante), los campos de Jacobi son aquellos campos que son lineales en . $t$
Para variedades de Riemann de curvatura de sección negativa constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , y , donde . ${\ estilo de visualización -k^{2))$ ${\dot {\gamma}}(t)$ $t{\dot {\gamma}}(t)$ ${\ estilo de visualización \ exp (\ pm kt) e_ {i} (t)}$ $yo>1$
Para variedades de Riemann de curvatura seccional positiva constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , y , donde . $k^{2}$ ${\dot {\gamma}}(t)$ $t{\dot {\gamma}}(t)$ $\sin(kt)e_{i}(t)$ ${\ Displaystyle \ cos (kt) e_ {i} (t)}$ $yo>1$
La restricción del campo Killing a una geodésica es un campo de Jacobi en cualquier variedad de Riemann.
Los campos de Jacobi corresponden a geodésicas sobre el paquete tangente (con respecto a la métrica inducida por la métrica sobre ). $TM$ $METRO$

Véase también

Literatura

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Geometría riemanniana en general, Mir, 1971, p. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introducción a la geometría de Riemann. - San Petersburgo: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .