Espacio polaco

Un espacio polaco es un espacio homeomorfo a un espacio métrico completo con un subconjunto denso contable .

Ejemplos

• línea real
  • Cualquier subconjunto abierto o cerrado de la línea real

• espacio de Banach separable

• conjunto cantor

• espacio de urisohn

Propiedades

• Un subconjunto cerrado del espacio polaco es polaco.

• Un subconjunto abierto del espacio polaco es polaco.
  • ( Teorema de Alexandrov ) Cualquier conjunto G-delta de un espacio polaco es polaco;
    • Lo contrario también es cierto, si un subconjunto de un espacio polaco es polaco, entonces es un conjunto G-delta.

• El producto directo de los espacios polacos es polaco.

• Entre dos espacios polacos incontables existe una biyección de Borel . Es decir, una biyección que lleva conjuntos de Borel a conjuntos de Borel.
  • En particular, cada espacio polaco incontable tiene la cardinalidad del continuo .

• ( Teorema de Cantor-Bendixon ) cualquier subconjunto cerrado en el espacio polaco se representa como una unión disjunta de un subconjunto perfecto , un subconjunto contable y un subconjunto abierto.

Literatura

• V. G. Kanovei, V. A. Lyubetsky. Teoría de Conjuntos Moderna: Borel y Conjuntos Proyectivos . - MTsNMO, 2010. - 320 p. — ISBN 78-5-94057-683-9.