Plano proyectivo

El plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional . Un caso especial importante es el plano proyectivo real .

El plano proyectivo se distingue por el importante papel que juega el llamado axioma de Desargues , que es un teorema en espacios proyectivos de dimensiones superiores.

Definiciones

Plano proyectivo sobre un cuerpo

El plano proyectivo sobre el cuerpo es el conjunto de subespacios unidimensionales (líneas que pasan por cero) del espacio lineal tridimensional . Estas líneas se llaman puntos del plano proyectivo. El plano proyectivo por encima del cuerpo se suele denotar , por ejemplo , , , etc. $k$ $K^{3}$ $k$ $K{\mathrm {P}}^{2}$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {C}}{\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {H}}{\mathrm {P}}^{2}$

Definición axiomática

El plano proyectivo clásico П está definido por los siguientes axiomas. Los cuatro primeros son obligatorios.

P1. Por dos puntos distintos P y Q del plano P pasa una recta, y una sola.
P2. Dos rectas cualesquiera tienen un punto en común.
P3. Hay tres puntos que no están en la misma línea.
P4. Cada línea contiene al menos tres puntos.

Los axiomas adicionales son los siguientes:

P5. Axioma de Desargues. Si los triángulos ABC y A'B'C' son tales que las líneas AA' , BB' y CC' se cortan en el punto O , entonces los puntos de intersección de los pares de lados correspondientes AB y A'B' (P) , BC y B'C' (R) , AC y A'C'(Q) se encuentran en la misma línea recta.
P6. Axioma Pappus. Si l y l' son dos rectas distintas, A,B,C son tres puntos distintos de la recta l , y A',B',C' son tres puntos distintos de l', y todos estos puntos son distintos de O - los puntos de intersección de las rectas l y l' , luego los puntos de intersección de los pares de lados correspondientes AB' y A'B (P) , BC' y B'C (R) , AC' y A'C (Q ) se encuentran en la misma línea recta.
P7. Axioma de Fano. Sean A, B, C, D puntos, tres de los cuales no se encuentran en la misma línea. Dibujemos las seis líneas que conectan estos puntos (AB, AC, AD, BC, BD, CD) . Denotemos el punto de intersección de AB y CD por P, AC y BD por Q , y AD y BC por R (puntos diagonales). Estos puntos diagonales no se encuentran en una línea recta.

Ejemplos

Plano proyectivo real .
avion fano
El plano de Molton es un ejemplo de plano proyectivo no desarguesiano.

Propiedades

Para cualquier plano proyectivo sobre un cuerpo , se cumplen los axiomas P1-P4 y el axioma P5 de Desargues. Por el contrario, si el axioma P5 de Desargues se cumple en el plano П , entonces es un plano proyectivo sobre algún cuerpo . $k$

Si se cumplen el axioma P6 de Pappus y los axiomas P1-P4, entonces también se cumple el axioma P5 de Desargues. En este caso, P es un plano proyectivo sobre el campo (es decir, el cuerpo K es conmutativo). Por el contrario, el axioma de Pappus se cumple en cualquier plano proyectivo sobre un campo.

Si los axiomas P1–P4 y el axioma P5 de Desargues se cumplen, entonces el axioma P7 de Fano se cumple si y solo si P es un plano proyectivo sobre un anillo de división de característica ≠2. $k$

Topología del plano proyectivo real

Representemos el plano proyectivo real P²( R ) como un conjunto de rectas en R³ . Sus puntos forman un haz de todas las líneas que pasan por el origen. Construyamos una sola esfera. Entonces cada una de nuestras líneas (punto P²( R )) corta la esfera en dos puntos opuestos: x y -x . A partir de esto, se obtiene fácilmente otro modelo. Descartamos el hemisferio superior z > 0 . Cada punto en el hemisferio descartado corresponde a un punto en el hemisferio inferior, y se identifican puntos diametralmente opuestos en el círculo ecuatorial del hemisferio inferior. Al "enderezar" el hemisferio, obtenemos un círculo, en el que se identifican los puntos diametralmente opuestos del círculo límite. Un círculo es homeomorfo a un cuadrado cuyos lados opuestos están identificados (en la dirección de las flechas). Como se muestra en la siguiente figura, este cuadrado es homeomorfo al círculo D² con la tira de Möbius μ adjunta. Por lo tanto, el plano proyectivo no es orientable .

El ciclo (semicírculo) de a (denotemos como ) no es un límite, sin embargo, el círculo completo de a y de a (denotemos como ) ya limita toda la parte "interior" del plano proyectivo, por lo tanto 2 ≈ 0 y ≠0 (el signo igual significa , ya sea que el ciclo sea o no homólogo a cero), es decir, cualquier ciclo no homólogo a cero es homólogo al ciclo . Por lo tanto, el grupo de homología unidimensional consta de dos elementos H 1 (P²)={0,1} , donde el elemento cero del grupo corresponde a ciclos unidimensionales homólogos a cero, y a la unidad todos los ciclos son homólogos . $-X$ $X$ $a$ $-X$ $X$ $X$ $-X$ $2a$ $a$ $a$ $a$ $a$

Los grupos de homología del plano proyectivo son fáciles de calcular: H 0 (P²) = Z , H 1 (P²)={0,1} y H 2 (P²)= 0 , los números de Betti (rango de los grupos de homología) son respectivamente b 0 =1, b 1 =1, b 2 =0 y la característica de Euler es igual a la suma alterna χ(P²)=b 0 -b 1 +b 2 =1 . También puede calcular la característica de Euler directamente a partir de la triangulación χ(P²) (vea la figura inferior): el número de vértices es 6, aristas 15 y caras 10, lo que significa χ(P²)=6-15+10=1 .

Según el conocido teorema de la clasificación de superficies entre todas las variedades compactas , conexas , cerradas , lisas , el plano proyectivo está determinado únicamente por el hecho de que no es orientable y su característica de Euler es igual a 1 .

Grupo fundamental π 1 (P²)= Z 2 , los grupos de mayor homotopía corresponden a los de la esfera π n (P²)=π n (S²) para n≥2 .

Véase también

La cinta de Moebius
botella de klein
La superficie de Boi es un ejemplo de inmersión de un plano proyectivo real en un espacio euclidiano tridimensional.

Literatura

Artin E. Álgebra Geométrica. — M.: Nauka, 1969
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna: métodos y aplicaciones. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna: Métodos de la teoría de la homología. — M.: Nauka, 1984
Kokster G. S. M. El plano proyectivo real. -M: Fizmatgiz, 1959
Kokster G. S. M. Introducción a la geometría. — M.: Nauka, 1966
Fomenko A. T. Geometría visual y topología. - M.: MGU, 1998
Hartshorne R. Fundamentos de geometría proyectiva. — M.: Mir, 1970