Objeto proyectivo

Un objeto proyectivo es una generalización teórica de categorías del concepto de módulo proyectivo .

Los objetos proyectivos en categorías abelianas se utilizan ampliamente en álgebra homológica . Los objetos duales a los proyectivos son objetos inyectivos .

Definición

Un objeto en una categoría se llama proyectivo si para un epimorfismo y un morfismo arbitrarios existe un morfismo para el cual , es decir, un diagrama: $PAGS$ ${\ matemáticas {C}}$ $e\colon E\twoheadrightarrow X$ $f\dos puntos P\to X$ ${\overline {f}}:P\to E$ $e\circ {\overline {f}}=f$

es conmutativo .

Propiedades

En una categoría localmente pequeña , un objeto es proyectivo solo si el funtor ${\ matemáticas {C}}$ $PAGS$ $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Conjunto}$

conserva epimorfismos . [una]

Sea una categoría abeliana localmente pequeña . En este caso, un objeto es un objeto proyectivo si ${\ matemáticas {C}}$ $P\in {\mathcal {C}}$ $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}$

es un funtor exacto , donde es la categoría de los grupos abelianos .

{\mathbf {Ab))

El coproducto de dos objetos proyectivos es un objeto proyectivo. [2]
Una retracción de un objeto proyectivo es proyectivo. [3]

Ejemplos

La afirmación de que todos los conjuntos son objetos proyectivos es equivalente al axioma de elección .

Los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos son grupos abelianos libres.

Sea un anillo con unidad. Considere la categoría (abeliana) de módulos izquierdos . Los objetos proyectivos son módulos R proyectivos a la izquierda . En particular , es un objeto proyectivo en $R$ ${\mathcal {M}}_{R}$ $R$ ${\mathcal {M}}_{R}$ $R$ ${\mathcal {M}}_{R}.$

Notas

↑ Mac Lane, Saunders. Categorías para Matemático en activo (neopr.) . - Segundo. - Nueva York, NY: Springer New York, 1978. - Pág. 114. - ISBN 1441931236 .
↑ Awodey, Steve. Teoría de categorías (inglés) . — 2do. - Oxford: Oxford University Press , 2010. - Pág. 72. - ISBN 9780199237180 .
↑ Awodey, Steve. Teoría de categorías (inglés) . — 2do. - Oxford: Oxford University Press , 2010. - Pág. 33. - ISBN 9780199237180 .