Producto (teoría de categorías)

El producto de dos o más objetos es una generalización en la teoría de categorías de conceptos tales como el producto cartesiano de conjuntos , el producto directo de grupos y el producto de espacios topológicos . El producto de una familia de objetos es, en cierto sentido, el objeto más general que tiene morfismos para todos los objetos de la familia.

Definición

Sea una familia indexada de objetos (no necesariamente distintos) de la categoría . Un objeto de categoría , junto con una familia de morfismos , es un producto de una familia de objetos si, para cualquier objeto y cualquier familia de morfismos , existe un único morfismo para el cual el siguiente diagrama es: $\{X_i\}_{i \in I}$ $C$ $X$ $C$ $\pi_i\colon X \to X_i$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\en C$ $f_i\colon\, Y \to X_i$ $f\dos puntos\, Y\a X$

es conmutativa para cada uno (es decir, ). Los morfismos se llaman proyecciones canónicas . $yo en yo$ $\pi_i \circ f = f_i$ $\pi _{i}$

La definición anterior es equivalente a la siguiente:

Un objeto junto con una familia de proyecciones es un producto de una familia de objetos si y solo si para cualquier objeto el mapeo $X$ $\{\pi_i\}_{i \en yo}$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\en C$

\mathrm{Hom}_{C}(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_{C}(Y,X_i),\; f\mapsto\prod_{i\in I} (\pi_i \circ f)

biyectivamente _

El producto de dos objetos generalmente se denota por , y el diagrama toma la forma $X_1 \veces X_2$

El morfismo a veces se denota por . $F$ $\lang f_1,f_2 \rang$

La unicidad del resultado de la operación se puede expresar alternativamente como una igualdad verdadera para cualquier . [una] $\lang-,-\rang$ $\lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h$ $h$

Ejemplos

En la categoría de conjuntos, la categoría producto es igual al producto cartesiano .
En la categoría de espacios topológicos, un producto de espacios corresponde a un espacio cuyo soporte es el producto cartesiano de los soportes de los factores, y la topología se define como el producto de sus topologías.
En la categoría de grupos , el producto de los grupos se define como su producto directo .
En la categoría de variedades proyectivas , el producto categórico se puede definir utilizando la incrustación de Segre .
Un conjunto parcialmente ordenado puede considerarse como una categoría en la que existe un morfismo de a si y sólo si (por definición) cuando (además, no puede haber más de un morfismo entre dos objetos). En este caso, el producto de una familia de objetos ordenados linealmente es su mayor límite inferior y el coproducto es su menor límite superior. $a$ $b$ $a\geqslant b$

Propiedades

Si existe un producto de objetos, entonces es único salvo un isomorfismo .
Conmutatividad : $a \times b \simeq b \times a.$
Asociatividad : $(a\veces b)\veces c \simeq a\veces (b\veces c)$
Si hay un objeto terminal en la categoría , entonces $\ una$ $a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a.$
Las propiedades anteriores son formalmente similares a las de un monoide conmutativo . Más precisamente, una categoría en la que se define el producto de dos objetos cualesquiera y hay un objeto terminal es una categoría monoide simétrica .

Distributividad

En general, hay un morfismo canónico donde más denota un coproducto de objetos. Esto se deduce de la existencia de proyecciones e incrustaciones canónicas y de la conmutatividad del siguiente diagrama: $X\veces Y+X\veces Z\a X\veces (Y+Z)$

La propiedad de universalidad para garantiza la existencia del morfismo requerido. Una categoría se llama distributiva si este morfismo en ella es un isomorfismo . $X\veces (Y+Z)$

Matriz de Transformación

Cualquier morfismo

f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j

genera un conjunto de morfismos

f_{ij} \colon a_i \to b_j

dada por la regla y llamada matriz de transformación . Por el contrario, cualquier matriz de transformación especifica un único morfismo correspondiente.Si hay un objeto nulo en la categoría, entonces para dos objetos cualesquiera hay un morfismo nulo canónico : En este caso, la matriz de transformación , dada por la regla $f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i$ $f_{ij} \colon a_i \to b_j$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j.$ $0,$ $x, y$ $0_{xy}:x\a 0\a y.$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{i\in I} a_i$

f_{ij} = \left\{ \begin{matriz} 0_{a_ja_i},~ i\ne j \\ \mathrm{id}_{a_i},~ i=j \end{matriz} \right.

se llama matriz identidad .

Ejemplo

En la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, el coproducto de los espacios es igual a su producto y es su suma directa . En este caso, las definiciones categóricas y habituales de la matriz de transformación coinciden, ya que cualquier espacio de dimensión finita se puede descomponer en una suma directa de unidimensionales, así como en un producto directo de unidimensionales. La diferencia es que en la definición categórica, los elementos de la matriz son transformaciones de un espacio unidimensional en un espacio unidimensional, mientras que en la definición habitual, las bases se eligen en estos espacios unidimensionales y solo la coordenada de la imagen de se puede especificar el vector base del espacio de imagen previa en la base del espacio de imagen. $\mathcal{V}ect_f$

Véase también

Un coproducto es un concepto dual a un producto.
categoría cerrada cartesiana

Notas

↑ Lambek J., Scott PJ Introducción a la lógica categórica de orden superior. - Cambridge University Press, 1988. - Pág. 304.

Literatura

Bucur I., Deleanu A. Introducción a la teoría de categorías y funtores = Introducción a la teoría de categorías y funtores. - M .: Mir , 1972. - S. 39. - 259 p.
McLane S. Categorías para el matemático que trabaja. - M. : Fizmatlit, 2004 [1998].
Zharinov VV Algunos métodos algebro-geométricos en física matemática . - T. 8. - 82 pág.