Función generadora de probabilidades

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En la teoría de la probabilidad, la función generadora de las probabilidades de una variable aleatoria discreta es una serie de potencias de la función de probabilidad de la variable aleatoria. Las funciones generadoras de probabilidad se utilizan a menudo para describir brevemente su secuencia de probabilidades P(X=i) para una variable aleatoria X , con la capacidad de aplicar la teoría de series de potencias con coeficientes no negativos.

Definición

Caso unidimensional

Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores enteros no negativos {0,1, ...}, entonces la función generadora de probabilidad de la variable aleatoria X se define como

{\displaystyle G(z)=M(z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty}p(x)z^{x))

donde p es una función de probabilidad de X. Tenga en cuenta que los índices de designación G X y p X se usan a menudo para enfatizar que se refieren a una variable aleatoria X en particular y su distribución. La serie de potencias converge absolutamente, al menos para todos los números complejos z, |z| ≤ 1; en muchos ejemplos, el radio de convergencia es mayor.

Caso multidimensional

Si X = (X 1 ,...,X d ) es una variable aleatoria discreta que toma valores de una red de enteros no negativos de dimensión d {0,1, ...} d , entonces la función generadora de probabilidad de X se define como

G(z)=G(z_{1},...,z_{d})=M(z_{1}^{X_{1}}...z_{d}^{X_{d }})=\sum_{x_{1},...,x_{d}=0}^{\infty}p(x_{1},...,x_{d})z_{1}^ {x_{1}}...z_{d}^{x_{d}}

donde p es una función de probabilidad de X. La serie de potencias converge absolutamente al menos para todos los vectores complejos z = (z 1 ,...,z d ) ∈ ℂ d con máximo {|z 1 |,...,|z d |} ≤ 1.)

Propiedades

Serie de potencia

Las funciones generadoras de probabilidades obedecen todas las reglas de las series de potencias con coeficientes no negativos. En particular, G(1 − ) = 1, donde G(1 − ) = lím z→1 G(z) desde abajo, ya que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1. Por lo tanto, el radio de convergencia de cualquier función de probabilidad generadora debe ser al menos 1, por el teorema de Abel para series de potencias con coeficientes no negativos.

Probabilidades y expectativas

Las siguientes propiedades le permiten inferir las diversas cantidades base asociadas con : $X$

1. La función de probabilidad de se restablece tomando la derivada $X$ $GRAMO$

p(k)=P(X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!)}}

2. De la propiedad 1 se sigue que si las variables aleatorias y tienen funciones generadoras de probabilidades iguales ( = ), entonces , es decir, si y tienen las mismas funciones generadoras de probabilidades, entonces también tienen las mismas distribuciones. $X$ $Y$ ${\ estilo de visualización G_ {X}}$ ${\ estilo de visualización G_ {Y}}$ $p_{X}(k)=p_{Y}(k)$ $X$ $Y$

3. La normalización de la función de densidad se puede expresar en términos de la función generadora

M(1)=G(1^{-})=\sum_{i=0}^{\infty}p(i)=1

La esperanza matemática de X se da como

M(X)=G'(1^{-})

Más generalmente, el k-ésimo momento factorial de X está dado por

{\ estilo de visualización E (X (X-1)... (X-k + 1)))}

M\left({\frac {X!}{(Xk)!}}\right)=G^{(k)}(1^{-}),k\geq 0

Por lo tanto, la varianza de X se da como

{\displaystyle D(X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-[G'(1^{-})]^{2))

4. , donde es una variable aleatoria. es la función generadora de las probabilidades y es la función generadora de los momentos. $G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)$ $X$ ${\ estilo de visualización G_ {X} (t)}$ ${\ estilo de visualización M_ {X} (t)}$

Funciones de variables aleatorias independientes

Las funciones generadoras de probabilidad son útiles en particular para tratar funciones de variables aleatorias independientes . Por ejemplo:

Si X 1 , X 2 , ..., X n es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente igualmente distribuidas), y

S_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i},

donde ai son constantes, entonces la función generadora de probabilidad se define como

G_{S_{n}}(z)=M(z^{S_{n}})=M(z^{\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i }})=G_{x_{1}}(z^{a_{1}})G_{x_{2}}(z^{a_{2}})...G_{x_{n}}(z ^{a_{n}})

Por ejemplo, si

S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i},

entonces la función generadora de probabilidad, G S n (z) , se define como

G_{S_{n}}(z)=G_{x_{1}}(z)G_{x_{2}}(z)...G_{x_{n}}(z)

También se deduce de esto que la función generadora de la diferencia de dos variables aleatorias independientes S = X 1 − X 2 se define como

G_{S}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(1/z)

Suponga que N es también una variable aleatoria discreta e independiente que toma valores enteros no negativos, con una función generadora de probabilidad G N . Si X 1 , X 2 , ..., X N son independientes y están igualmente distribuidos con una función generadora de probabilidad común G X , entonces

G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z))

Esto se puede ver usando la ley de la expectativa total de la siguiente manera:

G_{S_{N}}(z)=M(z^{S_{N}})=M(z^{\sum_{i=1}^{N}X_{i}})= M(M(z^{\sum_{i=1}^{N}X_{i}}|N))=M((G_{X}(z))^{N})=G_{N} (G_{X}(z))

Este último hecho es útil en el estudio de los procesos de Galton-Watson.

Sea de nuevo N también una variable aleatoria discreta e independiente que toma valores enteros no negativos, con una función generadora de probabilidades G N y una densidad de probabilidad f i =P{N=i}. Si X 1 , X 2 , ..., X n son variables aleatorias independientes pero desigualmente distribuidas, donde G X i denota la función generadora de probabilidad de X i , entonces

G_{S_{N}}(z)=\sum_{i\geq 1}{f_{i}}\prod_{k=1}^{i}{G_{X_{i}}( z)}

Para X i igualmente distribuido , esto simplifica la identidad anterior. En el caso general, a veces es útil obtener una descomposición de S N utilizando funciones generadoras de probabilidad.

Ejemplos

La función generadora de probabilidades para una variable aleatoria constante que toma un valor c ( P(X=c) = 1) es

{\displaystyle G(z)=z^{c))

La función generadora de probabilidad para una variable aleatoria con distribución binomial es

{\displaystyle G(z)=[(1-p)+pz]^{n))

Obviamente, este es un producto de n veces de generar funciones de una variable aleatoria con una distribución de Bernoulli con parámetro p Por lo tanto, la función generadora de la variable aleatoria de lanzar una moneda justa es

{\ estilo de visualización G (z) = 1/2 + z/2}

Función generadora de probabilidad para una variable aleatoria con distribución binomial negativa con probabilidad de éxito p, mantenida hasta el r-ésimo éxito

G(z)={\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)}^{r}

(Converge en )

\left|z\right|<{\frac {1}{1-p))

Obviamente, este es un producto de r veces de variables aleatorias distribuidas geométricamente que generan funciones con el parámetro (1-p)

La función generadora de probabilidad para una variable aleatoria de Poisson con parámetro λ es

G(z)=e^{\lambda {(z-1)))

Enlaces

Johnson, Países Bajos; Kotz, S.; Kemp, A. W. (1993) Distribuciones discretas univariadas (2ª edición). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (Sección 1.B9)