Diagrama espacio-temporal

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El diagrama de espacio-tiempo , también conocido como diagrama de Minkowski , fue desarrollado en 1908 por Hermann Minkowski y proporciona una ilustración de las propiedades del espacio y el tiempo en la relatividad especial . Permite, sin ecuaciones matemáticas, comprender cualitativamente fenómenos como la dilatación del tiempo y la contracción de Lorentz .

Los diagramas de Minkowski son gráficos bidimensionales que representan eventos que ocurren en el universo , que consta de una dimensión espacial y una dimensión temporal. A diferencia de los gráficos convencionales de tiempo y distancia, la distancia se muestra en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical. Además, las unidades de medida de los ejes se eligen de tal manera que un objeto que se mueve a la velocidad de la luz se representa en un ángulo de 45° con respecto a los ejes del gráfico.

Así, cada objeto, como un observador o un vehículo, se muestra mediante una línea específica en el diagrama, que se denomina su línea universal . Además, cada punto del diagrama representa una posición específica en el espacio y el tiempo y se denomina evento , pase lo que pase allí.

Fundamentos

El término "diagrama de Minkowski" se usa tanto en un sentido general como particular. En general, un diagrama de Minkowski es una representación gráfica bidimensional de una parte del espacio de Minkowski , generalmente limitada a una dimensión espacial. Las unidades de medida en estos diagramas se toman de manera que el cono de luz del evento consiste en líneas con una pendiente de más o menos uno [1] . Las líneas horizontales corresponden a la noción usual de eventos simultáneos para un observador estacionario en el origen.

Un diagrama de Minkowski separado ilustra el resultado de las transformaciones de Lorentz . Las transformaciones de Lorentz vinculan dos marcos de referencia inerciales , donde el observador estacionariodescansando en (0, 0) cambia la velocidad a lo largo del eje x . El nuevo eje de tiempo del observador forma un ángulo α con el eje de tiempo anterior con α < . En el nuevo marco de referencia, los eventos simultáneos se encuentran paralelos a una línea inclinada por α a la línea de simultaneidad anterior. Este es el nuevo eje x . Tanto el conjunto de ejes original como el nuevo conjunto de ejes tienen la propiedad de que son ortogonales con respecto al producto interno (escalar) en el espacio de Minkowski o el producto relativista en un punto .

Cualquiera que sea el valor de α , la línea t = x forma una bisección universal [2] .

Las unidades del eje espacial y temporal se pueden elegir, por ejemplo, de la siguiente manera:

Así, los caminos de la luz se representan mediante líneas paralelas a la bisectriz del ángulo entre los ejes.

Diagramas de espacio-tiempo en la física newtoniana

Los ejes negros, etiquetados x y ct en el diagrama adjunto, representan el sistema de coordenadas del observador en reposo, que está en x = 0 . La línea de universo del observador coincide con el eje temporal ct . Cada línea paralela a este eje corresponderá a un objeto estacionario, pero en una posición diferente. La línea azul describe un objeto que se mueve a una velocidad constante v hacia la derecha, como un observador en movimiento.

La línea azul etiquetada como ct' se puede interpretar como el eje de tiempo para el segundo observador. Junto con el eje de la trayectoria (denotado x e idéntico para ambos observadores) representa su sistema de coordenadas. Ambos observadores están de acuerdo en la ubicación de los orígenes de sus sistemas de coordenadas. Los ejes de un observador en movimiento no son perpendiculares entre sí y la escala en su eje de tiempo se estira. Para determinar las coordenadas de un evento en particular, se deben dibujar dos líneas, cada una de las cuales es paralela a uno de los dos ejes que pasan por el evento. Sus intersecciones con los ejes dan las coordenadas del evento.

Determinar la posición y el tiempo del evento A en el diagrama, como se esperaba, da como resultado el mismo tiempo para ambos observadores. Se obtienen diferentes valores para la posición porque el observador en movimiento se ha acercado a la posición del evento A, ya que t = 0 . Como regla general, todos los eventos en una línea paralela al eje de la trayectoria (eje x ) ocurren simultáneamente para ambos observadores. Solo hay un tiempo global t = t ′ , modelando la existencia de un eje de posición común. Por otro lado, debido a los dos ejes de tiempo diferentes, los observadores suelen medir diferentes coordenadas de trayectoria para el mismo evento. Esta transformación gráfica de x y t a x' y t' , y viceversa, se describe matemáticamente mediante las llamadas transformaciones de Galileo .

Diagramas espacio-tiempo en relatividad especial

Albert Einstein (1905) encontró que la descripción newtoniana es incorrecta [3] . Hermann Minkowski proporcionó su interpretación gráfica en 1908 [4] . El espacio y el tiempo tienen propiedades que conducen a diferentes reglas para transformar coordenadas en el caso de observadores en movimiento. En particular, los eventos que ocurren simultáneamente desde el punto de vista de un observador ocurren en momentos diferentes para otro.

En el diagrama de Minkowski, esta relatividad de la simultaneidad corresponde a la introducción de un eje de trayectoria separado para el observador en movimiento. Siguiendo la regla descrita anteriormente, cada observador interpreta todos los eventos en una línea paralela al eje de su trayectoria al mismo tiempo. La secuencia de eventos desde el punto de vista del observador se puede ilustrar gráficamente cambiando esta línea en el diagrama de abajo hacia arriba.

Si a los ejes de tiempo se les asigna ct en lugar de t , entonces el ángulo α entre ambos ejes de trayectoria x y x' será idéntico al ángulo entre los ejes de tiempo ct y ct' . Esto se deriva del segundo postulado de la relatividad especial, que establece que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de su movimiento relativo (ver más abajo). El ángulo α viene dado por la fórmula [5]

.

La transformación correspondiente de x y t a x' y t' y viceversa, se describe matemáticamente mediante transformaciones de Lorentz . Independientemente de qué ejes espaciales y temporales surjan de tal transformación, en el diagrama de Minkowski corresponden a diámetros conjugados.pares de hipérbolas . Las escalas a lo largo de los ejes son las siguientes: si U  es la unidad de longitud a lo largo de los ejes ct y x , respectivamente, entonces la unidad de longitud a lo largo de los ejes ct' y x' es: [6]

El eje ct  es la línea de mundo del reloj que descansa en S , U representa la duración entre dos eventos que ocurren en esta línea de mundo, también llamado tiempo propio entre estos eventos. La longitud U en el eje x representa la longitud adecuada de la barra que descansa en S . La misma interpretación también se puede aplicar a la distancia U' en los ejes ct ' y x' para relojes y barras que descansan en S' .

Diagramas de Loedel

Mientras que los ejes de espacio y tiempo de un marco de referencia en reposo forman ángulos rectos, en un marco de referencia en movimiento los ejes forman un ángulo agudo. Dado que los marcos de referencia deben ser equivalentes, se tiene la impresión de que tal asimetría viola la equivalencia. No obstante, se ha demostrado que existe un marco de referencia intermedio "entre" el que está en reposo y el que está en movimiento, en el que se aprecia esta simetría ("marco de referencia intermedio") [7] . En este marco de referencia, los dos marcos de referencia originales se mueven en direcciones opuestas a la misma velocidad. El uso de tales coordenadas hace que las unidades de longitud y tiempo para ambos ejes sean iguales. Si β =vCy γ =una√ 1 - β 2se dan entre S y S', entonces estas expresiones se relacionan con valores en el sistema intermedio S 0 de la siguiente manera: [7] [8]

Por ejemplo, si β = 0.5 entre S y S' , entonces en virtud de (2) se mueven en el sistema intermedio S 0 aproximadamente desde ±0.268 s en diferentes direcciones. Por otro lado, si β 0 = 0.5 en S 0 , entonces en virtud de (1) la velocidad relativa entre S y S' en sus propios marcos de referencia es 0.8 c . La construcción de los ejes S y S' se realiza de acuerdo con el método habitual utilizando tan α = β 0 con respecto a los ejes ortogonales del marco de referencia intermedio (Fig. 1).

Sin embargo, resulta que al construir un diagrama simétrico de este tipo, es posible obtener relaciones entre los diagramas, incluso sin usar un marco de referencia intermedio y β 0 en absoluto . En cambio, entre S y S', la velocidad relativa β =vCen la siguiente expresión dando el mismo resultado: [9] Si φ es el ángulo entre los ejes ct ′ y ct (o entre x y x ′ ), y θ entre los ejes x ′ y ct ′ , entonces: [9] [ 10] [ 11] [12]

A partir de la Fig. 2, son obvios dos métodos de construcción: (a) el eje x se dirige perpendicularmente al eje ct' , los ejes x' y ct se suman en un ángulo φ ; (b) el eje x' se dibuja en un ángulo θ con respecto al eje ct' , el eje x se agrega perpendicular al eje ct' , el eje ct es perpendicular al eje x' .

Los componentes del vector se pueden demostrar claramente mediante los siguientes diagramas (Fig. 3): las proyecciones paralelas ( x , t ; x ′ , t ′) del vector R son sus componentes contravariantes , ( ξ , τ ; ξ ′, τ ′) son sus componentes covariantes [ 10] [11] .

Ralentización del tiempo

La dilatación relativista del tiempo significa que los relojes (que muestran la hora adecuada ) que se mueven en relación con el observador se están ralentizando. De hecho, se observa que el tiempo mismo en el marco de referencia de un reloj en movimiento es lento. Esto se puede ver inmediatamente en el diagrama de Loedel adyacente porque las unidades de longitud en los dos sistemas de ejes son idénticas. Por lo tanto, para comparar lecturas entre dos sistemas, simplemente podemos comparar las longitudes como se ven en la página: no tenemos que considerar el hecho de que las unidades de longitud en cada eje están distorsionadas por un factor

que tendríamos que tener en cuenta en el diagrama de Minkowski correspondiente.

Se supone que el observador, cuyo marco de referencia está dado por los ejes negros, se mueve del origen O a A. Un reloj en movimiento tiene un marco de referencia dado por los ejes azules y se mueve de O a B. Para un observador negro, todos los eventos que ocurren simultáneamente con el evento en el punto A, ubicado en una línea paralela a su eje espacial. Esta línea pasa por A y B, por lo que A y B son simultáneos para el marco de referencia del observador con ejes negros. Sin embargo, un reloj que se mueve en relación con un observador negro marca la hora en el eje de tiempo azul. Esto está representado por una distancia de O a B. Por lo tanto, un observador en el punto A con ejes negros considera que su reloj corresponde a una distancia de O a A, mientras que para un reloj que se mueve con respecto a él, a una distancia de O a B Debido al hecho de que la distancia de O a B es menor que la distancia de O a A, concluye que el tiempo transcurrido en el reloj que se mueve con respecto a él es menor que el tiempo transcurrido en su propio reloj.

El segundo observador, moviéndose junto con el reloj de O a B, argumentará que el reloj del primero solo ha llegado al tiempo C, y por lo tanto el reloj del primero va más lento. La razón de estas declaraciones aparentemente paradójicas es la diferente definición de la simultaneidad de eventos que ocurren en diferentes lugares. Debido al principio de relatividad, la pregunta de quién tiene razón es incontestable y no tiene sentido.

Contracción de Lorentz

La contracción de longitud relativista significa que la longitud de un objeto que se mueve en relación con el observador disminuye, e incluso el espacio mismo se reduce. Se supone que el observador también se mueve a lo largo del eje ct , y que las líneas universales de los puntos extremos del objeto que se mueve con respecto a él se mueven a lo largo del eje ct' y paralelas a la línea que pasa por los puntos A y B. Para este observador, los puntos extremos del objeto en t = 0 son O y A. Para un segundo observador que se mueve con el objeto, de modo que para él el objeto está en reposo, tiene su propia longitud OB en t' =0 . Dado que el objeto OA<OB se reduce para el primer observador.

El segundo observador afirmará que el primer observador tomó los extremos del objeto en O y A en momentos diferentes, lo que resultó en un resultado incorrecto. Si un segundo observador encuentra la longitud de otro objeto con extremos moviéndose a lo largo del eje ct y una línea paralela a través de C y D, llegará a la misma conclusión de que el objeto está comprimido de OD a OC. Cada observador evalúa objetos en movimiento con el otro observador reducido. Esta situación aparentemente paradójica es consecuencia de la relatividad de la simultaneidad, como lo demuestra el análisis mediante el diagrama de Minkowski.

Con todas estas consideraciones, se asumió que ambos observadores toman en cuenta la velocidad de la luz y las distancias a todos los eventos que ven para determinar los momentos reales en los que ocurren los eventos desde su punto de vista.

La constancia de la velocidad de la luz

Otro postulado de la teoría especial de la relatividad es la constancia de la velocidad de la luz. Establece que cualquier observador en un marco de referencia inercial que mide la velocidad de la luz relativa a sí mismo en el vacío recibe el mismo valor independientemente de su propio movimiento y el movimiento de la fuente de luz. Esta afirmación parece paradójica, pero se sigue directamente de la ecuación diferencial obtenida para ella y es consistente con el diagrama de Minkowski. Esto también explica el resultado del experimento de Michelson-Morley , considerado un misterio antes de que se descubriera la teoría de la relatividad, cuando los fotones eran considerados ondas en un medio indetectable.

Para líneas universales de fotones que pasan por el origen en diferentes direcciones, se cumplen las condiciones x = ct y x = − ct . Esto significa que cualquier posición en dicha línea universal corresponde a los mismos valores de coordenadas x y ct . De la regla para obtener coordenadas en un sistema de coordenadas oblicuas se sigue que estas dos líneas universales son las bisectrices de los ángulos formados por los ejes x y ct . El diagrama de Minkowski muestra que también son bisectrices de los ejes x' y ct' . Esto significa que ambos observadores miden la misma velocidad c para ambos fotones.

También se pueden agregar a este diagrama de Minkowski otros sistemas de coordenadas correspondientes a observadores con velocidades arbitrarias. Para todos estos sistemas, las líneas de mundo de los fotones son bisectrices de los ángulos formados por los ejes de coordenadas. Cuanto más se acerca la velocidad del observador a la velocidad de la luz, más se aproximan los ejes a las bisectrices de los ángulos correspondientes. El eje de la trayectoria es siempre más plano y el eje del tiempo es más inclinado que las líneas del mundo de los fotones. Las escalas en ambos ejes son siempre las mismas, pero generalmente difieren de otros sistemas de coordenadas.

La velocidad de la luz y el principio de causalidad

Las líneas rectas que pasan por el origen y más empinadas que las líneas del mundo de fotones corresponden a cuerpos que se mueven más lento que la velocidad de la luz. Esto es cierto desde el punto de vista de cualquier observador, ya que las líneas de mundo de los fotones son bisectrices de ángulo en cualquier marco de referencia inercial. Por tanto, cualquier punto por encima del origen y entre las líneas de mundo de ambos fotones puede ser alcanzado a una velocidad inferior a la de la luz, y puede tener una relación causal con el origen. Esta área es el futuro absoluto, porque cualquier evento en esta área ocurre después del evento en el origen, independientemente del observador, lo cual se ve claramente en el diagrama de Minkowski.

De manera similar, el área debajo del origen y entre las líneas del mundo fotónico es el pasado absoluto relativo al origen. Cualquier evento de esta área puede ser la causa de un evento en el origen.

La conexión entre cualquiera de estos pares de eventos se llama temporal , porque para todos los observadores hay un intervalo de tiempo positivo distinto de cero entre ellos. Una línea recta que conecta dos de estos eventos siempre puede ser el eje de tiempo de algún observador para el cual estos eventos ocurren en el mismo lugar en el espacio. Dos eventos que solo pueden estar conectados por una línea correspondiente a la velocidad de la luz se llaman similares a la luz .

Se puede agregar una dimensión más del espacio al diagrama de Minkowski, lo que da como resultado una representación tridimensional. En este caso, las regiones del futuro y del pasado se convierten en conos cuyos vértices se tocan en el origen. Se llaman conos de luz .

La velocidad de la luz como límite

De manera similar al ejemplo anterior, todas las líneas que pasan por el origen y son más horizontales que las líneas del mundo fotónico corresponderán a objetos o señales que se mueven más rápido que la velocidad de la luz , independientemente de la velocidad del observador. Por lo tanto, ningún evento fuera de los conos de luz puede ser alcanzado desde el origen por una señal de luz o por cualquier objeto o señal que se mueva a una velocidad menor que la de la luz. Estos pares de eventos se denominan de tipo espacial , ya que tienen una distancia espacial finita distinta de cero para todos los observadores. La línea recta que conecta tales eventos es siempre el eje de coordenadas espaciales de un posible observador para quien estos eventos ocurren simultáneamente. Por un ligero cambio en la velocidad de este sistema de coordenadas en ambas direcciones, uno siempre puede encontrar dos marcos de referencia inerciales, cuyos observadores consideran que el orden cronológico de estos eventos es diferente.

Por lo tanto, si un objeto se mueve más rápido que la luz, por ejemplo, de O a A como se muestra en el diagrama adyacente, esto significaría que para cualquier observador que observe el movimiento de un objeto de O a A, se puede encontrar un observador más. (moviéndose a una velocidad menor que la velocidad de la luz c con respecto al primero) por lo que el objeto se mueve de A a O. La pregunta de qué observador tiene razón no tiene una respuesta inequívoca y, por lo tanto, no tiene significado físico. Cualquier objeto o señal que se mueva de esta manera violaría el principio de causalidad.

Además, la capacidad de enviar señales más rápido que la velocidad de la luz permitirá que la información se transmita al pasado de la fuente. En el diagrama, un observador en O en el marco x - ct envía un mensaje más rápido que la luz a A. En el punto A, es recibido por otro observador en el marco x' - ct' (es decir, con una velocidad diferente), quien lo devuelve, también más rápido que la velocidad de la luz, en B. Pero B está en el pasado con respecto a O. Lo absurdo de la situación radica en el hecho de que ambos observadores confirman posteriormente que no recibir mensajes en absoluto, y todos los mensajes no fueron recibidos, sino que fueron enviados de cada uno al otro observador, como se ve en el diagrama de Minkowski. Además, si fuera posible acelerar al observador a la velocidad de la luz, sus ejes espacial y temporal coincidirían con la bisectriz de su ángulo. El sistema de coordenadas colapsaría debido a que la dilatación del tiempo alcanza tal valor que el paso del tiempo simplemente se detiene.

Estas consideraciones muestran que el límite de la velocidad de la luz es consecuencia de las propiedades del espacio-tiempo, y no de las propiedades de los objetos, como, por ejemplo, tecnológicamente, la imperfección de las naves espaciales. Por lo tanto, la prohibición del movimiento más rápido que la luz en el espacio de Minkowski no tiene nada que ver con las ondas electromagnéticas o la luz, sino que surge de la estructura del espacio-tiempo.

Diagramas de espacio-tiempo de un observador acelerado en relatividad especial

Marcos de referencia inerciales que se mueven instantáneamente a lo largo de la línea universal de un observador que acelera rápidamente (centro). La dirección vertical indica el tiempo, la dirección horizontal indica la distancia, la línea punteada es la trayectoria espacio-temporal ("línea del mundo") del observador. Los pequeños puntos son eventos específicos en el espacio-tiempo. Si piensa en estos eventos como un destello de luz, los eventos que pasan a través de las dos líneas diagonales en la mitad inferior de la imagen (el cono de luz del observador anterior en el origen) son los eventos visibles para el observador. La pendiente de la línea universal (desviación de la vertical) da la velocidad relativa del observador. Observe cómo cambia el marco de referencia inercial que se mueve instantáneamente a medida que el observador acelera.

Véase también

Notas

  1. ↑ Mermín (1968) Capítulo 17
  2. ↑ Ver Vladimir Karapetov
  3. ↑ Einstein, Alberto. Zur Elektrodynamik bewegter Körper  (neopr.)  // Annalen der Physik . - 1905. - T. 322 , N º 10 . - S. 891-921 . -doi : 10.1002 / andp.19053221004 . - . . Ver también: traducción al inglés Archivado el 25 de noviembre de 2005 en Wayback Machine .
  4. ↑ Minkowski, Hermann. Raum und Zeit  (alemán)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1909. - Bd. 10 _ - S. 75-88 .
    • Varias traducciones en Wikisource: espacio y tiempo
  5. ↑ Demtröder, Wolfgang. Mecánica y Termodinámica  (neopr.) . — ilustrado. - Springer, 2016. - S. 92-93. - ISBN 978-3-319-27877-3 . Extracto de la página 93 Archivado el 11 de agosto de 2020 en Wayback Machine .
  6. ↑ Freund, Jürgen. Relatividad especial para principiantes: un libro de texto para estudiantes universitarios  (inglés) . - World Scientific , 2008. - Pág. 49. - ISBN 981277159X .
  7. ↑ 1 2 Mirimanoff, Dmitry. La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume  (fr.)  // Archives des sciences physiques et naturelles (suplemento): revista. - 1921. - Vol. 3 . - P. 46-48 . (Traducción: La transformación de Lorentz-Einstein y el tiempo universal de Ed. Guillaume )
  8. ↑ Shadowitz, Alberto. El campo electromagnético  (neopr.) . - Reimpresión de 1975. - Courier Dover Publications , 2012. - P. 460. - ISBN 0486132013 . Ver [ [1]  en " Google Books " Google Books, p. 460]
  9. ↑ 1 2 Sartori, Leo. Comprender la relatividad: un enfoque simplificado de las  teorías de Einstein . — Prensa de la Universidad de California , 1996. — P. 151ff. - ISBN 0-520-20029-2 .
  10. ↑ 1 2 Grüner, Paul; Sauter, José. Représentation géométrique élémentaire des formules de la théorie de la relativité  (francés)  // Archives des sciences physiques et naturelles: revista. - 1921. - Vol. 3 . - pág. 295-296 . (Traducción: Representación geométrica elemental de las fórmulas de la teoría especial de la relatividad )
  11. ↑ 1 2 Grüner, Paul. Eine elementare geometrische Darstellung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie  (alemán)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1921. - Bd. 22 . - S. 384-385 . (Traducción: Una representación geométrica elemental de las fórmulas de transformación de la teoría especial de la relatividad )
  12. ↑ Shadowitz, Alberto. Relatividad especial  (neopr.) . - Reimpresión de 1968. - Courier Dover Publications , 1988. - S. 20-22. - ISBN 0-486-65743-4 .

Fuentes