Descomposición en asas

La descomposición del mango de m - colectores M es una filtración

\emptyset =M_{-1}\subconjunto M_{0}\subconjunto M_{1}\subconjunto M_{2}\subconjunto \dots \subconjunto M_{m-1}\subconjunto M_{m}=M

de donde se obtiene cada uno mediante la unión de asas . La descomposición de manejadores para una variedad corresponde a la descomposición CW en el espacio topológico - la descomposición de manejadores nos permite utilizar métodos para estudiar complejos CW adaptados al mundo de las variedades suaves . Por lo tanto, el i -handle es un análogo suave de la i- cell. Las descomposiciones de manijas de variedades surgen de la teoría de Morse . La modificación de las estructuras de los mangos está estrechamente relacionada con la teoría de Cerf . $Mi}$ $M_{{i-1}}$ $i$

Antecedentes

Considere una partición CW estándar de una esfera n con una celda cero y una celda n . Desde el punto de vista de las variedades suaves, es una partición degenerada de la esfera, ya que no hay una forma natural de ver una estructura suave usando esta partición, en particular, la estructura suave cerca de la celda 0 depende del comportamiento de la mapeo característico en la vecindad de . $S^{n}$ ${\ estilo de visualización \ chi: D ^ {n} \ a S ^ {n}}$ $S^{{n-1}}$

El problema con las descomposiciones de CW es que las asignaciones de celdas que se pueden unir no viven en un mundo de asignaciones suaves entre múltiples. La idea original para corregir este defecto es el teorema de la vecindad tubular . Dado un punto p en una variedad M , su vecindad tubular cerrada es difeomorfa . Así, obtenemos una partición de M en una unión disjunta y , pegados a lo largo de su límite común. La pregunta principal aquí es si este mapeo de pegado es un difeomorfismo. Tome una curva suave incrustada en , su vecindad tubular es difeomorfa . Esto nos permite escribir como la unión de tres variedades pegadas a lo largo de partes de sus límites: $Notario público$ ${\ Displaystyle D ^ {m}}$ $Notario público$ $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ $I\veces D^{m-1}$ $METRO$

${\ Displaystyle D ^ {m}}$
$I\veces D^{m-1}$
el complemento de la vecindad tubular abierta de la curva en . $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$

Tenga en cuenta que todas las asignaciones pegadas son suaves, en particular, cuando pegamos con , la relación de equivalencia se forma incrustando en , que es suave por el teorema de vecindad tubular . $I\veces D^{m-1}$ ${\ Displaystyle D ^ {m}}$ ${\displaystyle (\parcial I)\veces D^{m-1))$ ${\displaystyle \parcial D^{m))$

Las expansiones de manijas fueron introducidas por Steven Smale [1] . En la formulación original , el proceso de adjuntar un identificador j a una variedad m M supone que la incrustación se lleva a cabo en . deja _ Una variedad (en otras palabras, una unión de M con un asa j a lo largo de f ) corresponde a una unión disjunta de y con una identificación con su imagen en , es decir: ${\displaystyle f:S^{j-1}\veces D^{mj))$ $\parcial M$ ${\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{mj))$ ${\displaystyle M\taza _{f}H^{j))$ $METRO$ ${\ estilo de visualización H ^ {j}}$ ${\displaystyle S^{j-1}\veces D^{mj))$ $\parcial M$

M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim

donde la relación de equivalencia se da como para todos . $\sim$ ${\ estilo de visualización (p, x) \ sim f (p, x)}$ ${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\veces D^{mj}\subconjunto D^{j}\veces D^{mj))$

Se dice que una variedad N se obtiene a partir de M añadiendo j -asas si la unión de M con un número finito de j -asas es difeomorfa a N. Luego, la descomposición en asas de una variedad se define como una adición gradual al conjunto vacío de asas, de modo que al final obtenemos . Por lo tanto, una variedad tiene una descomposición de manijas con 0 manijas solo si es difeomorfa a una unión disjunta de bolas. Una variedad conectada que contiene identificadores de solo dos tipos (es decir, identificadores 0 y identificadores j para algunos j fijos ) se denomina cuerpo con identificadores . $METRO$ $METRO$

Terminología

Tomemos una unión M con un j -handle : ${\ estilo de visualización H ^ {j}}$

M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim

$f(S^{j-1}\times\{0\})\subconjunto M$ llamada esfera adherente (o esfera plantar ) [2] .

$F$ a veces llamado el encuadre de la esfera de encolado porque da una trivialización de su paquete normal .

${\displaystyle \{0\}^{j}\veces S^{mj-1}\subconjunto D^{j}\veces D^{mj}=H^{j))$ es el cinturón del mango en . ${\ estilo de visualización H ^ {j}}$ ${\displaystyle M\taza _{f}H^{j))$

La variedad obtenida al adjuntar copias de -asas al disco es un (m, k) -cuerpo con asas de género g . $gramo$ $k$ ${\ Displaystyle D ^ {m}}$

Representaciones de cobordismos

La representación del mango del cobordismo consiste en el cobordismo W donde y la filtración ${\displaystyle \parcial W=M_{0}\cup M_{1))$

W_{-1}\subconjunto W_{0}\subconjunto W_{1}\subconjunto \cdots \subconjunto W_{m+1}=W

donde y son variedades -dimensionales, son -dimensionales, difeomórficas y se obtienen sumando i -handles. Dado que las descomposiciones de manijas para variedades son análogas a las descomposiciones de celdas de espacios topológicos, las representaciones de manijas del cobordismo para variedades con límites son análogas a las descomposiciones de celdas relativas de pares de espacios. $M_{0}$ $M_{1}$ $metro$ $W$ $m+1$ $W_{{-1}}$ $M_{0}\veces [0,1]$ $Wisconsin$ ${\ estilo de visualización W_ {i-1}}$

Desde el punto de vista de la teoría Morse

Si se da una función de Morse en una variedad compacta M sin límite tal que los puntos críticos de la función satisfagan y $f:M\to \mathbb {R}$ $\{p_{1},\ldots,p_{k}\}\subconjunto M$ $F$ $f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})$

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k }

entonces para todo j es difeomorfo , donde es el índice del punto crítico . El índice corresponde a la dimensión del subespacio máximo del espacio tangente , donde la arpillera es definida negativa. ${\ estilo de visualización f ^ {-1} [t_ {j-1}, t_ {j}]}$ ${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)))$ ${\ estilo de visualización I (j)}$ $p_{j}$ ${\ estilo de visualización I (j)}$ $T_{p_{j}}M$

Si los índices satisfacen la desigualdad , entonces obtenemos una descomposición en asas de la variedad M. Además, cualquier variedad tiene una función Morse de este tipo, por lo que tienen descomposiciones de control. De manera similar, dado un cobordismo c y una función que es una función de Morse en el interior, es constante en el límite y satisface la propiedad de aumento del índice, hay una representación W del controlador de cobordismo generado . $I(1)\leqslant I(2)\leqslant \cdots \leqslant I(k)$ $W$ ${\displaystyle \parcial W=M_{0}\cup M_{1))$ $f:W\to \mathbb {R}$

Si es una función de Morse , también es una función de Morse. La representación correspondiente de descomposición de manijas/cobordismo se denomina descomposición dual . $F$ $METRO$ ${\ estilo de visualización -f}$

Algunos teoremas y observaciones principales

El mosaico de Heegaard de una variedad de 3 orientable cerrada es un mosaico de una variedad de 3 en la unión de dos (3,1) cuerpos con manijas a lo largo de su límite común, lo que se denomina mosaico de Heegaard para una superficie. Las teselaciones de Heegaard surgen para 3 - variedades de varias formas naturales. Si se da una descomposición de una variedad de 3 en asas, la unión de 0 - y 1 - asas es un (3,1) -cuerpo con asas, y la unión de 3 - y 2 - asas también da un (3, 1) -cuerpo con asas (desde el punto de vista del alicatado dual), es decir, el alicatado Heegaard. Si una variedad de 3 tiene una triangulación T , entonces hay un teselado de Heegaard generado, donde el primer cuerpo (3,1) con manijas es un vecindario regular del esqueleto de 1 , y el otro cuerpo (3,1) con manijas es un vecindario regular del dual de 1 núcleo . ${\ estilo de visualización T^{1}}$
Si adjuntamos dos identificadores en secuencia , podemos cambiar el orden de la vinculación, siempre que, es decir, esta variedad sea diferente a la variedad de vista para las asignaciones de vinculación apropiadas. ${\displaystyle (M\taza_{f}H^{i})\taza_{g}H^{j))$ $j\leqslant i$ ${\displaystyle (M\taza H^{j})\taza H^{i))$
El límite es difeomorfo a, cortado a lo largo de la esfera enmarcada . Este es el vínculo principal entre la cirugía , los mangos y las funciones de Morse. ${\displaystyle M\taza _{f}H^{j))$ $\parcial M$ $F$
Como consecuencia, una m -variedad M es el límite de una m+1- variedad W si y solo si M puede obtenerse de la cirugía en un conjunto de enlaces enmarcados en . Por ejemplo, se sabe que cualquier variedad de 3 es el límite de una variedad de 4 (de manera similar, las variedades de 3 espinores orientadas son el límite de las variedades de 4 orientadas y espinores , respectivamente) según el trabajo de René Thom sobre cobordismo . Por lo tanto, cualquier 3-variedad puede obtenerse mediante cirugía en enlaces amañados en la 3- esfera. En el caso orientado, se acostumbra reducir estos enlaces enmarcados a una incrustación enmarcada de una unión disjunta de círculos. ${\ estilo de visualización S ^ {m}}$ ${\ estilo de visualización S ^ {m}}$
El teorema de h - cobordismo se demuestra simplificando las descomposiciones de manijas de variedades suaves.

Véase también

Pen Casson
Teoría de los [co]bordismos
complejo CW
cuerpo con asas
Cálculo de Kirby
Descomposición de una variedad

Notas

↑ Smale, 1962 , pág. 387–399.
↑ Scorpan, 2016 , pág. 46.

Literatura

Smale S. Sobre la estructura de las variedades // Amer. Matemáticas J. - 1962. - T. 84 .
- El artículo está reimpreso en el libro: S. Smale. Sobre la estructura de las variedades // Biblioteca topológica. Parte 1: Cobordismos y sus aplicaciones / Editor a cargo: Louis H. Kauffman; Editores: SP Novikov, IA Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltda., 2007. - V. 39. - (SERIE SOBRE NUDOS Y TODO). - ISBN 978-981-270-559-4 .
Scorpan A. El asombroso mundo de las variedades de cuatro dimensiones. — M. : MTsNMO, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7 .

Literatura principal

Kosinksi A. Colectores diferenciales. - Prensa Académica, 1992. - V. 138. - (Matemática Pura y Aplicada).
Robert Gompf, Andras Stipsic. 4-variedades y cálculo de Kirby. - Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. - V. 20. - ( Estudios de Posgrado en Matemáticas ). - ISBN 0-8218-0994-6 .