Grupo abeliano libre

En matemáticas , un grupo abeliano libre ( un módulo Z libre ) es un grupo abeliano que tiene una base , es decir, un subconjunto de elementos del grupo tal que para cualquiera de sus elementos existe una representación única en forma de combinación lineal de elementos básicos con coeficientes enteros , de los cuales solo un número finito es distinto de cero. Los elementos de un grupo abeliano libre con base B también se denominan sumas formales sobre B. Los grupos abelianos libres y las sumas formales se utilizan en topología algebraica en la definición de grupos de cadena y enGeometría Algebraica en la Definición de Divisores .

Al igual que los espacios vectoriales , los grupos abelianos libres se clasifican por la cardinalidad de la base; esta cardinalidad es independiente de la elección de la base y se denomina rango del grupo . [1] [2]

Ejemplo y contraejemplo

El grupo , suma directa de dos copias de un grupo cíclico infinito , es un grupo abeliano libre de rango 2, ya que tiene una base , donde y . Un elemento arbitrario de un grupo se representa únicamente como una combinación lineal de ellos: . De manera más general, un grupo abeliano libre es cualquier red en [3] ${\displaystyle G=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2))$ $\matemáticas {Z}$ $B=\lbrace e_{1},e_{2}\rbrace$ ${\ estilo de visualización e_ {1} = (1,0)}$ ${\ estilo de visualización e_ {2} = (0,1)}$ ${\ estilo de visualización (n, m)}$ $GRAMO$ ${\displaystyle (n,m)=ne_{1}+me_{2))$ ${\matemáticas R}^{n}.$
Ningún grupo abeliano finito , excepto el trivial , es libre (ya que un grupo abeliano libre no tiene torsión ).

Sumas formales

Para cualquier conjunto , puede definir un grupo cuyos elementos son funciones del conjunto de enteros, y los corchetes indican el hecho de que todas las funciones toman valores distintos de cero en un conjunto finito como máximo. La suma de funciones se define puntualmente: con respecto a esta suma , forma un grupo abeliano libre , cuya base está en correspondencia biunívoca con deconjuntoel $B$ ${\mathbb Z}^{{(B))),$ $B$ ${\matemáticas Z},$ ${\ estilo de visualización (f + g) (x) = f (x) + g (x),}$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $b.$ $X$ $B$ ${\ estilo de visualización e_ {x},}$ ${\ estilo de visualización e_ {x} (x) = 1,}$ ${\ estilo de visualización e_ {x} (y) = 0}$ $y$ $b,$ $y\neq x.$ $F$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$

f=\sum_{{\{x\mid f(x)\neq 0\))}f(x)e_{x}

Un grupo con base es único salvo isomorfismo; sus elementos se llaman sumas formales de elementos ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $\{e_{x}\}_{x\en B}$ $b.$

Propiedades

Propiedad genérica

Los grupos libres se pueden caracterizar por la siguiente propiedad universal : una función de un conjunto B en un grupo abeliano F es una incrustación de una base en este grupo si para cualquier función de B en un grupo abeliano A arbitrario existe un homomorfismo de grupo único tal que Como para cualquier propiedad universal, que cumpla con esta propiedad, el objeto es automáticamente único hasta el isomorfismo, por lo que esta propiedad universal se puede usar para probar que todas las demás definiciones de un grupo libre con base B son equivalentes. $b$ $gramo$ $G: F \ a A,$ $g=G\circ b.$

Subgrupos

Teorema : Sea un grupo abeliano libre y sea su subgrupo . Entonces también es un grupo abeliano libre $F$ $G\subconjunto F$ $GRAMO$ .

La demostración de este teorema requiere el axioma de elección [4] . El Álgebra de Serge Leng proporciona una prueba usando el Lema de Zorn [5] , mientras que Solomon Lefschetz e Irving Kaplansky han argumentado que usar el principio de buena ordenación en lugar del Lema de Zorn da una prueba más intuitiva [6] .

En el caso de grupos generados finitamente, la demostración es más sencilla y nos permite obtener un resultado más preciso:

Teorema : Sea un subgrupo de un grupo libre finitamente generado . Entonces es libre, hay una base del grupo y de los números naturales (es decir, cada uno de los números divide al siguiente), de manera que forman una base . Además, la secuencia depende solo de y , pero no de la elección de la base $GRAMO$ $F$ $GRAMO$ $(e_{1},\ldots,e_{n})$ $F$ $d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}$ $(d_{1}e_{1},\ldots,d_{k}e_{k})$ $GRAMO.$ $d_{1},d_{2},\ldots,d_{k}$ $F$ $GRAMO$ . [una]

Torsión y divisibilidad

Todos los grupos abelianos libres son libres de torsión , es decir, no hay un elemento de grupo x ni un número n distinto de cero tal que nx = 0. Por el contrario, cualquier grupo abeliano libre de torsión generado finitamente es libre [7] . Afirmaciones similares son ciertas si reemplazamos las palabras "grupo sin torsión" por " grupo plano ": para los grupos abelianos, la planitud es equivalente a la ausencia de torsión.

El grupo de números racionales es un ejemplo de un grupo abeliano libre de torsión que no es libre. Para probar la última afirmación, basta señalar que el grupo de los números racionales es divisible , mientras que en un grupo libre, ninguno de los elementos de la base puede ser múltiplo de otro elemento [1] . $\matemáticas {Q}$

Sumas directas y productos

Cualquier grupo abeliano libre puede describirse como una suma directa de algún conjunto de copias (equivalente a su rango). La suma directa de cualquier número de grupos abelianos libres también es libre; como base, podemos tomar la unión de las bases de los términos. [una] $\matemáticas {Z}$

El producto directo de un número finito de grupos abelianos libres también es libre y es isomorfo a su suma directa. Sin embargo, esto no es cierto para el producto de un número infinito de grupos; por ejemplo, el grupo Baer-Specker, producto directo de un número contable de copias , no es Abelian libre [8] [9] . Al mismo tiempo, cualquiera de sus subgrupos contables es abeliano libre [10] . ${\mathbb Z}^{{{\mathbb N}}},$ ${\matemáticas Z},$

Notas

↑ 1 2 3 4 Hungerford, Thomas W. II.1 Grupos abelianos libres // Álgebra . - Springer, 1974. - vol. 73.—Pág. 70–75. — (Textos de Posgrado en Matemáticas). Archivado el 9 de agosto de 2014 en Wayback Machine .
↑ Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. La estructura de los grupos compactos: un manual para estudiantes: un manual para expertos . - Walter de Gruyter, 2006. - vol. 25. - Pág. 640. - (Estudios De Gruyter en Matemáticas). — ISBN 9783110199772 . Archivado el 9 de agosto de 2014 en Wayback Machine .
↑ Mollin, Richard A. Teoría de Números Avanzada con Aplicaciones . - CRC Press, 2011. - Pág. 182. - ISBN 9781420083293 . Archivado el 11 de agosto de 2014 en Wayback Machine .Teoría de Números Avanzada con Aplicaciones]. - CRC Press, 2011. - Pág. 182. - ISBN 9781420083293 .
↑ Blass, Andreas. Inyectividad, proyectividad y el axioma de elección // Transacciones de la American Mathematical Society. - 1979. - vol. 255.—Pág. 31–59. -doi : 10.1090 / S0002-9947-1979-0542870-6 . . El ejemplo 7.1 proporciona un modelo de teoría de conjuntos y un grupo abeliano proyectivo no libre en ese modelo, que es un subgrupo de un grupo abeliano libre donde A es un conjunto de átomos. $\left({\mathbb {Z}}^{{(A)))\right)^{n},$
↑ Lang, Serge. Álgebra. - Springer-Verlag, 2002. - vol. 211. - Pág. 880. - (Textos de Grado en Matemáticas). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ Kaplansky, Irving. Teoría de conjuntos y espacios métricos . - AMS, 2001. - Vol. 298.—Pág. 124–125. - (Serie editorial AMS Chelsea). — ISBN 9780821826942 . Archivado el 3 de enero de 2014 en Wayback Machine .
↑ Lee, John M. Grupos abelianos libres // Introducción a las variedades topológicas . — Springer. - Pág. 244-248. — (Textos de Posgrado en Matemáticas). — ISBN 9781441979407 . Archivado el 11 de agosto de 2014 en Wayback Machine .
↑ Griffith, Phillip A. Teoría de grupos abelianos infinitos . — University of Chicago Press, 1970. — P. 1 , 111–112. - (Conferencias de Chicago en Matemáticas). — ISBN 0-226-30870-7 .
↑ Baer, Reinhold. Grupos abelianos sin elementos de orden finito // Duke Mathematical Journal. - 1937. - Vol. 3, nº 1 . — págs. 68–122. -doi : 10.1215/ S0012-7094-37-00308-9 .
↑ Specker, Ernst. Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen // Portugaliae Math. - 1950. - Vol. 9.- Pág. 131-140.