Espacio simpléctico

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 7 de noviembre de 2021; la verificación requiere 1 edición .

Un espacio simpléctico es un espacio vectorial S con una forma simpléctica definida en él , es decir, una forma bilineal sesgada-simétrica no degenerada : $\omega$

\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )

\omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )

\forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\ omega (\mathbf {a},\mathbf {b})\neq 0

La forma simpléctica generalmente se denota . A diferencia de la forma de producto punto , para la cual $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$

\forall \mathbf {a} \neq 0\,:\,(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )>0

para una forma simpléctica, siempre $\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \right\rangle =0$

Definiciones relacionadas

Una transformación lineal L de un espacio simpléctico se llama simpléctica si conserva la forma simpléctica:

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle

El conjunto de todas las transformaciones simplécticas del espacio S forma un grupo llamado grupo simpléctico y denotado por Sp(S) .
La matriz de una transformación simpléctica se llama matriz simpléctica .
Un subespacio s de un espacio simpléctico S se llama simpléctico si la restricción de la forma simpléctica a s no es degenerada.
Se dice que dos vectores son ortogonales sesgados si $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S$

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0

Tenga en cuenta que cualquier vector es ortogonal sesgado a sí mismo.

El complemento ortogonal sesgado de un subespacio es el conjunto de todos los vectores que son ortogonales sesgados a cualquier vector de . ${\ estilo de visualización s \ subconjunto S}$ $s$

Estructura canónica

La estructura simpléctica se puede introducir en cualquier espacio vectorial de dimensión par. Se puede demostrar que las 2 formas sesgadas simétricas no degeneradas no existen en un espacio de dimensiones impares. Todos los espacios simplécticos de la misma dimensión son isomorfos simplécticos . Estos hechos se derivan del teorema de Darboux para espacios simplécticos. La idea de la prueba es la siguiente. Considere algún vector . En virtud de la no degeneración , existe un vector tal que $\mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n$ $\omega$ $\mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S}$

\left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1

Considere el complemento ortogonal sesgado del tramo lineal V de los vectores y . Se puede demostrar que este será un subespacio (2 n -2)-dimensional de S que no interseca a c V , y la restricción sobre él no es degenerada. Por lo tanto, el proceso puede continuarse por inducción. Para un espacio de dimensión impar, el proceso termina en un subespacio unidimensional, en el que obviamente está degenerado, por lo que la suposición de la existencia de una estructura simpléctica era incorrecta. Para un espacio de dimensión uniforme, obtenemos una base $\mathbf {p_{1}}$ $\mathbf {q_{1))$ $\omega$ $\omega$

(\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )

tal que

\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0

¿ Dónde está el símbolo de Kronecker ? Se llama base canónica o base de Darboux . $\delta _{{ij}}$

En la base canónica, la matriz de la forma simpléctica toma la forma

\Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}

donde es la matriz identidad de orden n . es una matriz simpléctica. $En}$ ${\ estilo de visualización \ Omega _ {n}}$

Estructura de subespacios

Considere un subespacio y su complemento sesgado-ortogonal . Por no degeneración : $W\subconjunto \mathbb {S}$ ${\ Displaystyle W ^ {\ perp}}$ $\omega$

\dim \,W+\dim \,W^{\perp}=\dim \,\mathbb {S}

Además,

(W^{\perp})^{\perp}=W

En general, estos subespacios se cruzan. Dependiendo de su posición mutua, se distinguen 4 tipos de subespacios:

Simpléctico : . Esto es cierto si y solo si la restricción a W no es degenerada, por lo que tal definición de subespacios simplécticos coincide con la dada anteriormente. En coordenadas adecuadas de Darboux, W tiene la forma $W\cap W^{\perp}=0$ $\omega$

(p_{1},\puntos,p_{k},0,\puntos,0;~q_{1},\puntos,q_{k},0,\puntos,0),\,2k= \dim \,W

Isotrópico : . Un subespacio es isótropo si y sólo si es idénticamente igual a cero en él. Cualquier subespacio unidimensional es isótropo. En coordenadas adecuadas de Darboux, W tiene la forma $W\subconjunto W^{\perp}$ $\omega$

(p_{1},\puntos,p_{k},0,\puntos,0;~0,\puntos,0),\,k=\dim \,W

coisotrópico : . W es coisotrópico si y solo si no es degenerado en el espacio del cociente . Cualquier subespacio de codimensión 1 es coisotrópico. En coordenadas adecuadas de Darboux, W tiene la forma $W^{\perp}\subconjunto W$ $\omega$ ${\displaystyle W\,/\,W^{\perp})$

(p_{1},\puntos,p_{n};~q_{1},\puntos,q_{k},0,\puntos,0),\,n+k=\dim \,W ,\,2n=\dim\,\mathbb {S}

Lagrangiano : . W es lagrangiano si y solo si es tanto isótropo como coisotrópico. Cualquier subespacio isotrópico está incrustado en un Lagrangiano, y cualquier subespacio coisotrópico contiene un Lagrangiano. En coordenadas adecuadas de Darboux, W tiene la forma $W^{\perp}=W$

(p_{1},\dots,p_{n};~0,\dots,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}

El conjunto de todos los subespacios lagrangianos de un espacio de dimensión 2n forma una variedad denominada lagrangian grassmanniana . Es difeomorfo a la variedad coset del grupo unitario con respecto al subgrupo ortogonal , mientras que ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {U} _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {O} _ {n}}$

\dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2))

Ejemplos

En un espacio complejo , se puede definir una forma simétrica oblicua bilineal mediante la fórmula $\mathbb{C}^n$

\left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]

donde es la forma hermítica . Esta forma define una estructura simpléctica sobre la cosificación del espacio .

\left[\cdot,\cdot \right]

{\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2n}}

\mathbb{C}^n

Para cualquier espacio V , existe una estructura simpléctica canónica en el espacio , donde el espacio es dual a V. El producto escalar sesgado se define para vectores base en V y sus conjugados mediante la fórmula $V\oplus V^{*}$ $V^*$

\left\langle w,u\right\rangle =1,~~u^{*}=w,~~u\in V

\left\langle w,u\right\rangle =0,~~u^{*}\neq w,~~\forall u,w\in V\oplus V^{*}

y se extiende a todos los demás vectores por linealidad.

Véase también

Literatura

Arnold V. I., Givental A. B. Geometría simpléctica . - 2ª ed. - Izhevsk: RHD, 2000. - 168 p. — ISBN 5-7029-0331-5 . (enlace no disponible)
Arnold VI Métodos matemáticos de la mecánica clásica. - 5ª ed., estereotipada. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 copias. — ISBN 5-354-00341-5 .
Fomenko A. T. Geometría simpléctica. Métodos y Aplicaciones . - M. : MSU Publishing House, 1988. - 414 p. (enlace no disponible)