Espacio estereotipado

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En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios estereotípicos son una clase de espacios vectoriales topológicos , que se distinguen por alguna condición especial de reflexividad . Esta clase tiene una serie de propiedades notables, en particular, es muy amplia (por ejemplo, contiene todos los espacios de Fréchet y, por lo tanto, todos los espacios de Banach ), consta de espacios sujetos a una cierta condición de completitud y forma una categoría monoide cerrada.con herramientas analíticas estándar para la construcción de nuevos espacios, como pasar a un subespacio cerrado, espacio cociente, límites proyectivos e inyectivos, espacio de operadores, productos tensoriales, etc.

Definición y criterio de estereotipo

Un espacio estereotipado [1] es un espacio vectorial topológico sobre el campo de números complejos [2] tal que el mapeo natural al segundo espacio dual $X$ $\matemáticas {C}$

i:X\to X^{\star \star },\quad i(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }

es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos (es decir, una aplicación lineal y homeomorfa ). Aquí el espacio dual se define como el espacio de todos los funcionales lineales continuos dotados de la topología de convergencia uniforme sobre conjuntos totalmente acotados en , y el segundo espacio dual es el espacio dual to en el mismo sentido. ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $f:X\to \mathbb {C}$ $X$ $X^{\estrella \estrella }$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

El siguiente criterio es verdadero: [1] un espacio vectorial topológico es un estereotipo si y solo si es localmente convexo y satisface las siguientes dos condiciones: $X$

pseudocompletitud : toda direccionalidad de Cauchy completamente acotada en converge, $X$
pseudosaturación : cualquier conjunto de capacidad equilibrado convexo cerrado [3] es una vecindad de cero en . $D$ $X$ $X$

La pseudocompletitud es un debilitamiento de la propiedad habitual de completitud, y la pseudosaturación es un debilitamiento de la propiedad cilíndrica de un espacio vectorial topológico.

Ejemplos

Todo espacio en barril pseudocompleto (en particular, todo espacio de Banach y todo espacio de Fréchet) es un estereotipo. Un espacio metrizable localmente convexo es estereotipado si y solo si es completo. Si es un espacio normado y es una topología débil en , generada por los funcionales del espacio dual , entonces el espacio es estereotípico con respecto a la topología si y solo si es de dimensión finita. Hay espacios estereotípicos que no son espacios de Mackey . $X$ $X$ $X$ $\sigma$ $X$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $\sigma$ $X$

Las conexiones más simples entre las propiedades de un espacio estereotípico y su espacio dual se expresan mediante la siguiente lista de regularidades [1] [4] : $X$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

$X$ normal - espacio de Banach - espacio de Smith ; $\Longleftrightarrow$ $X$ $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

$X$ metrizable - Espacio de Fréchet - Espacio de Brauner ; $\Longleftrightarrow$ $X$ $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

$X$ barril tiene la propiedad Heine-Borel; $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

$X$ cuasi -barril en cualquier subconjunto absorbido por cualquier barril está completamente acotado; $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $T$

$X$ — el espacio de Mackey en cualquier conjunto débilmente compacto es compacto; $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $X$

$X$ — el espacio de Montel está en forma de barril y tiene la propiedad de Heine-Borel — el espacio de Montel; $\Longleftrightarrow$ $X$ $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

$X$ — el espacio con la topología débil es de dimensión finita en cualquier espacio compacto ; $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $T$

$X$ es separable en hay una secuencia de subespacios cerrados de codimensión finita con intersección trivial: . $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $L_{n}$ ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty}L_{n}=\{0\))$

$X$ tiene la propiedad de aproximación (clásica) tiene la propiedad de aproximación (clásica); $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

$X$ completamente completo [5] saturado [6] ; $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

$X$ — el espacio Ptak [7] en cualquier subespacio que deje un rastro cerrado en cada conjunto compacto se cierra automáticamente; $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $L$ $L\cap K$ $k$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

$X$ — un espacio hipercompleto [8] en cualquier conjunto balanceado convexo que deje una traza cerrada en cada conjunto compacto se cierra automáticamente. $\Longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $B$ $B\cap K$ $k$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$

Historia

Los primeros resultados que describen este tipo de reflexividad de espacios vectoriales topológicos fueron obtenidos por M. F. Smith [9] en 1952. B. S. Brudovsky, [10] W. S. Waterhouse, [11] K. Browner, [12] S. S. Akbarov, [1] [4] [13] [14] y E. T. Shavgulidze llevaron a cabo más investigaciones en esta área . [15] El término "espacio estereotípico" fue introducido por S. S. Akbarov en 1995 [16] . Las principales propiedades de la categoría de espacios estereotipados fueron descritas por S. S. Akbarov en una serie de trabajos 1995-2017.

Pseudo-completado y pseudo-saturación

Cualquier espacio localmente convexo se puede convertir en un espacio estereotipado usando las operaciones estándar descritas por las siguientes proposiciones. [una] $X$

1. Cada espacio localmente convexo se puede asociar con un mapeo continuo lineal en algún espacio pseudocompleto localmente convexo , llamado pseudocompleción espacial , de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones: $X$ ${\ estilo de visualización \ triángulo hacia abajo _ {X}: X \ a X ^ {\ triángulo hacia abajo}}$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ triángulo hacia abajo}}$ $X$

$X$ es pseudocompleto si y solo si es un isomorfismo; ${\ estilo de visualización \ triángulo hacia abajo _ {X}: X \ a X ^ {\ triángulo hacia abajo}}$
para cualquier mapeo continuo lineal de espacios localmente convexos, existe un mapeo continuo lineal único tal que . ${\ estilo de visualización \ varphi: X \ a Y}$ $\varphi ^{\triangledown }:X^{\triangledown }\to Y^{\triangledown }$ $\triangledown _{Y}\circ \varphi =\varphi ^{\triangledown}\circ \triangledown _{X}$

Intuitivamente, uno puede pensar en un espacio pseudo-completo como el espacio pseudo-completo localmente convexo "más cercano al exterior", de modo que la operación agrega algunos elementos pero no cambia la topología (similar a la operación de finalización habitual). $X$ $X$ ${\displaystyle X\mapsto X^{\triangledown ))$ $X$ $X$

2. Cualquier espacio localmente convexo puede asociarse con un mapeo continuo lineal de algún espacio localmente convexo pseudosaturado , llamado pseudo -saturación espacial , de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones: $X$ $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle}\to X$ ${\ Displaystyle X^{\ vartriangle}}$ $X$

$X$ está pseudosaturado si y solo si es un isomorfismo; $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle}\to X$
para cualquier mapeo continuo lineal de espacios localmente convexos, existe un mapeo continuo lineal único tal que . ${\ estilo de visualización \ varphi: X \ a Y}$ ${\displaystyle \varphi ^{\vartriangle }:X^{\vartriangle }\to Y^{\vartriangle ))$ $\varphi \circ \vartriangle _{X}=\vartriangle _{Y}\circ \varphi ^{\vartriangle }$

La pseudosaturación de un espacio puede pensarse intuitivamente como el espacio localmente convexo pseudosaturado "más cercano al interior", de modo que la operación fortalece la topología , pero no cambia sus elementos. $X$ $X$ $X\mapsto X^{\vartriangle}$ $X$

Si es un espacio pseudocompleto localmente convexo, entonces su pseudosaturación es estereotipada. Dualmente, si es un espacio pseudo-saturado localmente convexo, entonces su pseudo- compleción es estereotipada. Para un espacio arbitrario localmente convexo , los espacios y son estereotípicos [17] . $X$ ${\ Displaystyle X^{\ vartriangle}}$ $X$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ triángulo hacia abajo}}$ $X$ ${\displaystyle X^{\vartriangle\triangledown))$ ${\ Displaystyle X ^ {\ triángulo abajo \ vartriangle}}$

La categoría de espacios estereotípicos

La clase Ste de espacios estereotípicos forma una categoría con mapeos continuos lineales como morfismos y tiene las siguientes propiedades: [1] [13]

Ste es una categoría pre-abeliana;
Ste - categoría completa y cocompleta;
Ste es una categoría autodual con respecto al funtor de transición al espacio dual; $X\mapsto X^{\star }$
Ste es una categoría con descomposición nodal : todo morfismo tiene una descomposición , donde es un epimorfismo estricto, es un bimorfismo y es un monomorfismo estricto. ${\ estilo de visualización \ varphi: X \ a Y}$ ${\ estilo de visualización \ varphi = \ sigma \ circ \ beta \ circ \ pi}$ $\Pi$ $\beta$ $\sigma$

Para cualesquiera dos espacios estereotipados y el espacio estereotipado de los operadores from to se define como la pseudosaturación del espacio de todas las aplicaciones lineales continuas dotadas de la topología de convergencia uniforme en conjuntos completamente acotados. El espacio es estereotípico. Se utiliza para definir dos productos tensoriales naturales en Ste : $X$ $Y$ $Y\oslash X$ $X$ $Y$ ${\ estilo de visualización {\ texto {L}} (X, Y)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi: X \ a Y}$ $Y\oslash X$

X\circledast Y:=(Y^{\star }\oslash X)^{\star },

X\odot Y:=Y\oslash X^{\star}.

Teorema. Las siguientes identidades naturales se mantienen en la categoría Ste : [1] [14] :

\mathbb {C} \circledast X\cong X\cong X\circledast \mathbb {C} ,

\mathbb {C} \odot X\cong X\cong X\odot \mathbb {C} ,

X\circledast Y\cong Y\circledast X,

X\odot Y\cong Y\odot X,

(X\circledast Y)\circledast Z\cong X\circledast (Y\circledast Z),

(X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),

(X\circledast Y)^{\star }\cong Y^{\star }\odot X^{\star },

(X\odot Y)^{\star }\cong Y^{\star }\circledast X^{\star },

X\oslash Y\cong Y^{\star}\oslash X^{\star},

X\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\oslash Y)\oslash Z,

(X\odot Y)\oslash Z\cong X\odot (Y\oslash Z)

En particular, Ste es una categoría monoide simétrica con respecto a un bifuntor , una categoría monoidal cerrada simétrica con respecto a un bifuntor y un funtor hom interno , y una categoría *-autónoma :

\odot

\circledast

\oslash

X^{\star }\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\circledast Y)^{\star }\oslash Z,

Núcleo y conúcleo en la categoría Ste

Dado que Ste es una categoría pre-abeliana, cada morfismo en ella tiene un núcleo , un conúcleo, una imagen y una coimagen. Estos objetos satisfacen las siguientes identidades naturales: [1] ${\ estilo de visualización \ varphi: X \ a Y}$

({\text{ker}}\varphi )^{\star }={\text{coker}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coker}}\varphi ) ^{\estrella}={\text{ker}}(\varphi ^{\estrella}),

({\text{im}}\varphi )^{\star }={\text{coim}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coim}}\varphi ) ^{\estrella}={\text{im}}(\varphi ^{\estrella}),

({\text{Ker}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Im}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{Im}}\ varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Ker}}(\varphi ^{\star }),

{\text{Ker}}\varphi =({\text{Im}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle},\qquad {\text{Im}}\varphi =({\text{Ker}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle}.

Límites directos e inversos en la categoría Ste

Las siguientes identidades naturales son válidas: [1] [14]

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \prod_{i\in I}X_{i}^{\star }

{\Big (}\prod_{i\in I}X_{i}{\Big)}^{\star }\cong \bigoplus_{i\in I}X_{i}^{\star }

Y\oslash {\Big (}\bigoplus_{i\in I}X_{i}{\Big)}\cong \prod_{i\in I}(Y\oslash X_{i})

{\Big (}\prod_{j\in J}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \prod_{j\in J}(Y_{j}\oslash X)

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\bigoplus_{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \bigoplus _{i\in I,j\in J}(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\prod_{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \prod _{i\in I,j\in J}(X_{i}\odot Y_{j})

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim_{\infty \gets i}X_{i}^{ \estrella}

{\Big (}\lim_{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim_{i\to \infty }X_{i}^{ \estrella}

Y\oslash {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\cong \lim_{\infty \gets i}(Y\oslash X_{i} )

{\Big (}\lim_{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \lim_{\infty \gets j}(Y_{j}\oslash X )

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\lim_{j\to \infty }Y_{j}{\ Grande )}\cong \lim _{i,j\to \infty }(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\lim_{\infty \obtiene i}X_{i}{\Big)}\odot {\Big (}\lim_{\infty \obtiene j}Y_{j}{\ Grande )}\cong \lim _{\infty \gets i,j}(X_{i}\odot Y_{j})

(aquí --- límite directo y --- límite inverso en la categoría Ste ). $\lim _{i\to \infty}$ ${\displaystyle \lim _{\infty \gets i))$

Transformación de Grothendieck

Si y son espacios estereotipados, entonces para cualquier elemento y la fórmula $X$ $Y$ $x\en X$ $y\en y$

(x\circledast y)(\varphi )=\varphi (y)(x),\qquad \varphi \in X^{\star }\oslash Y

define un tensor elemental , y la fórmula $x\circledast y\in X\circledast Y=(X^{\star }\oslash Y)^{\star }$

(x\odot y)(f)=f(x)\cdot y,\qquad f\in X^{\star }

--- tensor elemental $x\odot y\in X\odot Y=Y\oslash X^{\star }$

Teorema. [1] Para cualquier espacio de estereotipo y hay un mapeo continuo lineal único que mapea tensores elementales a tensores elementales

X

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

x\circledast y

x\odot y

\Gamma _{X,Y}(x\circledast y)=x\odot y,\qquad x\in X,\ y\in Y.

La familia de mapas define una transformación natural de un bifuntor a un bifuntor

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

\circledast

\odot

El mapeo se llama transformación de Grothendieck . ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {X, Y}}$

Propiedad de la aproximación del estereotipo

Se dice que un espacio de estereotipos tiene la propiedad de aproximación de estereotipos , si cada mapa continuo lineal puede aproximarse en el espacio de estereotipos de operadores mediante mapas continuos lineales de dimensión finita. Esta condición es más débil que la existencia de una base de Schauder en , pero formalmente más fuerte que la propiedad de aproximación clásica (sin embargo, aún se desconoce (2013) si la aproximación del estereotipo coincide con la clásica). $X$ ${\ estilo de visualización \ varphi: X \ a Y}$ $X\oslash X$ $X$

Teorema. [1] Para un espacio de estereotipo, las siguientes condiciones son equivalentes:

X

(i) tiene la propiedad de aproximación al estereotipo;

X

(ii) la transformación de Grothendieck es un monomorfismo (en la categoría Ste );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iii) la transformación de Grothendieck es un epimorfismo (en la categoría Ste );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iv) para cada espacio de estereotipo, la transformación de Grothendieck es un monomorfismo (en la categoría Ste );

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

(v) para cualquier espacio de estereotipo, la transformación de Grothendieck es un epimorfismo (en la categoría Ste ).

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

Teorema. [1] Si dos espacios de estereotipos y tienen la propiedad de aproximación de estereotipos , entonces los espacios y también tienen la propiedad de aproximación de estereotipos.

X

Y

X\oslash Y

X\circledast Y

X\odot Y

En particular, si tiene la propiedad de aproximación del estereotipo, entonces lo mismo es cierto para y . $X$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $X\oslash X$

Aplicaciones

Siendo una categoría monoide simétrica, Ste genera los conceptos de un álgebra estereotipada (como un monoide en Ste ) y un módulo estereotipado (como un módulo en Ste sobre tal monoide). Para cualquier álgebra de estereotipos , las categorías Ste y Ste de los módulos de estereotipos izquierdo y derecho son categorías relativas sobre Ste . [1] Esto distingue a la categoría Ste de otras categorías conocidas de espacios localmente convexos, ya que hasta hace poco tiempo solo se sabía que la categoría Ban de espacios de Banach y la categoría Fin de espacios de dimensión finita tenían esta propiedad. Por otro lado, la categoría Ste es tan amplia, y los medios que proporciona para construir nuevos espacios son tan diversos, que esto sugiere que todos los resultados del análisis funcional pueden reformularse dentro de la teoría del estereotipo sin pérdida significativa. Siguiendo esta idea, se puede intentar reemplazar completamente la categoría de espacios localmente convexos en el análisis funcional (y áreas relacionadas) con la categoría Ste de espacios estereotipados para comparar las teorías resultantes y encontrar posibles simplificaciones. Este programa fue anunciado por S. Akbarov en 2005 [18] y los siguientes resultados confirman su significado: $A$ $A$ $A$ $A$

En la teoría de los espacios de estereotipos, la propiedad de aproximación la heredan los espacios de operadores y los productos tensoriales. Esto permite reducir el número de contraejemplos en comparación con la teoría de los espacios de Banach, donde, como es sabido, el espacio de operadores no hereda la propiedad de aproximación. [19]
La teoría emergente de álgebras de estereotipos hace posible simplificar construcciones en teorías de dualidad de grupos no conmutativos. En particular, las álgebras de grupo en estas teorías se convierten en álgebras de Hopf en el sentido algebraico habitual. [4] [14] [20]

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 SS Akbarov, 2003.
↑ ...o sobre el campo de los números reales con una definición similar. $\matemáticas {R}$
↑ Se dice que un conjunto es capaz si para todo conjunto completamente acotado existe un conjunto finito tal que $D\subseteq X$ $A\subconjunto X$ $F\subconjunto X$ $A\subconjunto D+F$
↑ 1 2 3 SS Akbarov, 2008.
↑ Un espacio localmente convexo se llama cocompleto si todo funcional lineal que es continuo en todo conjunto completamente acotado es continuo en todo . $X$ $f:X\to \mathbb {C}$ $S\subseteq X$ $X$
↑ Un espacio localmente convexo se llama saturado si en él, para que el conjunto sea vecindad de cero, basta que sea convexo, equilibrado, y que para cada conjunto completamente acotado exista una vecindad cerrada de cero tal eso _ $X$ $B$ $B$ $S\subseteq X$ $tu$ $X$ $B\cap S=U$
↑ Un espacio localmente convexo se llama espacio Ptak o perfectamente completo si cualquier subespacio en el espacio dual es -débilmente cerrado cuando deja un rastro -débilmente cerrado en el polo de cada vecindad de cero . $X$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $Q\subseteq X^{\star }$ $X$ $X$ ${\displaystyle U^{\circ ))$ $U\subseteq X$
↑ Un espacio localmente convexo se llama hipercompleto si en el espacio dual cualquier conjunto absolutamente convexo es -débilmente cerrado cuando deja una huella -débilmente cerrada en la polar de cada vecindad de cero . $X$ ${\ estilo de visualización X ^ {\ estrella}}$ $Q\subseteq X^{\star }$ $X$ $X$ ${\displaystyle U^{\circ ))$ $U\subseteq X$
↑ MF Smith, 1952.
↑ BSBrudovski, 1967.
↑ WCWaterhouse, 1968.
↑ K. Brauner, 1973.
↑ 1 2 SS Akbarov, 2013.
↑ 1 2 3 4 SS Akbarov (2017 ).
↑ SSAkbarov, ETShavgulidze, 2003.
↑ SSAkbarov (1995 ).
↑ La cuestión de la coincidencia permanece abierta (2013). ${\displaystyle X^{\vartriangle\triangledown))$ ${\ Displaystyle X ^ {\ triángulo abajo \ vartriangle}}$
↑ SSAkbarov, 2005.
↑ A. Szankowski, 1981.
↑ J. Kuznetsova, 2013

Literatura

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