Teoremas del coseno esférico

Los teoremas del coseno esférico primero y segundo establecen relaciones entre los lados y los ángulos opuestos de un triángulo esférico .

Redacción

Los teoremas del coseno para un triángulo esférico con lados a , b , c y ángulos A , B , C son los siguientes:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,

\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.

Estos dos teoremas son duales entre sí, ya que los ángulos y lados de cualquier triángulo esférico se complementan en un ángulo recto con los lados y ángulos del triángulo polar correspondiente . Por lo tanto, basta probar uno de ellos.

Prueba

La demostración se realizará mediante proyecciones [1] . La figura muestra un triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio R con centro en O. BP es perpendicular al plano del gran círculo que pasa por el lado b , BM es perpendicular a OC , BN es perpendicular a OA . Por el inverso del teorema de las tres perpendiculares , PM es la perpendicular a OC , PN es la perpendicular a OA . Nótese que el ángulo PMB es igual a π - C, además, ON = R cos c y OM = R cos a. A continuación, proyectamos la polilínea OMPN sobre la línea que contiene ON .

{\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN

PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0

{\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b

{\mbox{pr }}MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi }{2}}-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)

=BM\cos \angle PMB(-\sin b)=BM\cos(\pi -C)(-\sin b)=R\sin b\sin a\cos C

Sustituimos las últimas tres expresiones y la expresión anterior ON = R cos c en la primera expresión y obtenemos:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C

Los teoremas del coseno para los otros dos lados, es decir, el teorema del cos a y el teorema del cos b, se obtienen de manera similar, también se pueden obtener directamente de la fórmula del lado c usando una permutación circular de letras:

$a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$

Consecuencias y aplicaciones

Si el ángulo C es recto, el teorema del primer coseno entra en el teorema esférico de Pitágoras :

\cos c=\cos a\cos b.

Aunque normalmente se usan fórmulas más convenientes para resolver triángulos esféricos oblicuos , usando el teorema del coseno, se deriva una fórmula importante para la geodesia para la longitud del gran círculo : la distancia más corta entre puntos en la superficie de la tierra con coordenadas conocidas (suponiendo que la tierra está esférico). Denotemos las latitudes geográficas de los dos puntos dados y , la diferencia de longitudes - , la distancia más corta entre ellos denotaremos d, la longitud del arco de 1 grado - a. Entonces la fórmula de longitud de ortodromía [2] : ${\ estilo de visualización \ varphi _ {A}}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {B}}$ ${\ estilo de visualización \ Delta \ lambda _ {AB}}$

\cos\left (\frac{d}{a}\right)=\sin\varphi_A\cdot\sin\varphi_B+\cos\varphi_A\cdot\cos\varphi_B\cdot\cos\Delta\lambda_{AB}

Esta fórmula se obtiene inmediatamente aplicando el teorema del coseno al lado AB del triángulo esférico P n AB. Una fórmula similar es válida para cualquier superficie esférica y, por lo tanto, también se puede utilizar para determinar la distancia angular entre estrellas utilizando sus coordenadas ecuatoriales conocidas [3] .

Ejemplo 1: Determinación de la distancia angular entre dos luminarias en la esfera celeste

Determinemos la distancia angular (x) entre la estrella δ Cefeo (coordenadas ecuatoriales: α 1 =22h 29m, δ 1 =+58° 25′) y la galaxia Nebulosa de Andrómeda (α 2 =0h 43m, δ 2 =+41 ° 16′) en la esfera celeste. Expresamos α 1 en grados y fracciones de grado:

\alpha_1 = \left (22+\frac{29}{60}\right )\cdot\frac{360}{24}=337^\circ,25

Análogamente, obtenemos que α 2 =10°.75. Expresamos δ 1 en grados y fracciones de grado:

\delta_1 = 58+\frac{25}{60}=58^\circ,42

De manera similar, δ 2 = 41°.27. Aplicamos el teorema del coseno [4] :

$\begin{align} \cos x & = \cos(90^\circ-\delta_1)\cdot\cos(90^\circ-\delta_2)+\sin(90^\circ-\delta_1)\cdot\sin (90^\circ-\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1-\alpha_2)\\ & =\sin 58^\circ,42\cdot\sin 41^\circ,27+\cos 58^\circ, 42\cdot\cos 41^\circ,27\cdot\cos (337^\circ,25-10^\circ,75)\\ &=0.89 \end{align}$

Por lo tanto x=27°,11.

El teorema del coseno en su segunda forma (la relación entre tres ángulos y un lado) se puede aplicar para calcular la inclinación mutua de dos órbitas, dada la inclinación de cada órbita a algún otro plano. Por ejemplo, esta fórmula se puede utilizar para calcular la inclinación de la órbita de Plutón respecto a la de Neptuno , utilizando las inclinaciones de sus órbitas respecto a la eclíptica y las longitudes de sus nodos ascendentes.

Ejemplo 2: Determinación de la inclinación mutua de las órbitas de los cuerpos celestes

Determinemos la inclinación mutua (x) de las órbitas de Plutón (la inclinación de la órbita a la eclíptica es 17°.14, la longitud del nodo ascendente es 110°.30) y Neptuno (la inclinación de la órbita a la eclíptica es 1°.77, la longitud del nodo ascendente es 131°.79) . En el triángulo esférico correspondiente se conocen dos ángulos: uno es igual a la inclinación de la órbita de Plutón respecto a la eclíptica, el otro es la suma de la inclinación de la órbita de Neptuno respecto a la eclíptica hasta 180 grados. También se conoce el lado adyacente a estos vértices, igual a la diferencia de longitudes de los nodos ascendentes de Plutón y Neptuno. Queda por aplicar la segunda versión del teorema del coseno - para ángulos:

$\begin{align} \cos x & = -\cos(17^\circ,14)\cdot\cos(180^\circ-1^\circ,77)+\sin(17^\circ,14)\ cdot\sin(180^\circ-1^\circ,77)\cdot\cos(131^\circ,79-110^\circ,30)\\ & \approx0,9636\\ \end{align}$

Por lo tanto x≈15°,51.

Historia

Los matemáticos del Oriente medieval utilizaron un enunciado equivalente al teorema del coseno esférico para resolver problemas astronómicos específicos. Estas proporciones utilizadas para determinar la altura del Sol se encuentran en los escritos de Thabit ibn Korra , al-Mahani , al-Battani , Ibn Yunis , al-Biruni .

La primera formulación explícita del teorema fue dada en el siglo XV por Regiomontanus , quien lo llamó el "teorema de Albategnius" (por el nombre latinizado de al-Battani ).

Véase también

Notas

↑ Citado según la publicación: Stepanov N. N. Fórmulas para el coseno de un lado // Trigonometría esférica . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 24 -28. — 154 pág.
↑ Mikhailov V.S., Kudryavtsev V.G., Davydov V.S. 26.2. Fórmulas básicas de ortodromía. Modos de configurarlo // Navegación y Piloto . - Kiev, 2009. Copia de archivo fechada el 25 de julio de 2012 en Wayback Machine .
↑ Meyos J. 9. Distancia angular entre objetos // Fórmulas astronómicas para calculadoras. - Mir , 1988. - S. 44-46. — 168 pág. — ISBN 5030009361 .
↑ Lee Kai Ming. PHYS 2021 - El Universo Físico . - 2010. - S. 6 . Archivado desde el original el 3 de diciembre de 2008.

Literatura

Wentzel M. K. Trigonometría esférica. 2ª ed., IGKL, 1948, 115s.
Matvievskaya G.P. Ensayos sobre la historia de la trigonometría: la antigua Grecia. Oriente medieval. Baja Edad Media. - Ed. 2do. - M. : Librokom, 2012. - 160 p. - (Patrimonio físico-matemático: las matemáticas (historia de las matemáticas)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Stepanov N. N. Trigonometría esférica. - L.-M., 1948.

trigonometría esférica
Conceptos básicos	triángulo esférico triangulo polar Exceso Grande en
Fórmulas y proporciones	Teoremas del coseno teorema del seno Fórmula de cinco elementos Fórmula de medio lado La regla mnemotécnica de Napier Teorema esférico de Pitágoras fórmulas de delambre Fórmulas de analogía de Napier teorema de legendre resolver triángulos
Temas relacionados	Sistema de coordenadas esféricas geometría esférica ángulo triédrico