Triángulo esférico

Un triángulo esférico es una figura geométrica en la superficie de una esfera , que consta de tres puntos y tres arcos de grandes círculos que conectan estos puntos en pares. Tres grandes círculos en la superficie de una esfera que no se cortan en un punto forman ocho triángulos esféricos . Las relaciones entre elementos de triángulos esféricos se estudian mediante trigonometría esférica .

El lado de un triángulo esférico se mide por el valor del ángulo central basado en él . El ángulo de un triángulo esférico se mide por el valor del ángulo diedro entre los planos en los que se encuentran los lados de este ángulo. Un triángulo esférico, cuyos lados son todos menores que la mitad del gran círculo, y los ángulos son menores que π, se llama Euler [1] :9 . A continuación, se consideran los triángulos de Euler.

Propiedades

Además de los tres signos de igualdad de los triángulos planos, uno más es cierto para los triángulos esféricos: dos triángulos esféricos son iguales si sus ángulos correspondientes son iguales [1] :16 . En la geometría euclidiana, tales triángulos son semejantes . En geometría esférica, cualquier transformación de similitud es isométrica (es decir, el coeficiente de similitud siempre es igual a uno), por lo que en geometría esférica no hay figuras similares desiguales (es decir, figuras que se traducen entre sí por una transformación de similitud).
Un triángulo polar para un triángulo esférico dado (ABC) es un triángulo esférico (A'B'C') cuyos vértices A', B', C' son los polos de [a] con respecto a los lados BC, CA, AB , respectivamente. En este caso, los puntos A y A', B y B', C y C' están del mismo lado con respecto a BC, CA, AB, respectivamente. [3]
- Para cualquier triángulo polar se cumplen las siguientes reglas: ; , donde es el ángulo y el lado . $K'=\pi -k$ $k'=\pi -K$ $K=\alfa,\beta,\gamma$ ${\ Displaystyle k = a, b, c}$
- Un triángulo esférico, cuyos lados son todos iguales a un ángulo recto, será polar consigo mismo.
- El triángulo polar, construido al triángulo polar por alguna esférica, coincide con el original.

Para los lados de un triángulo esférico, se cumplen 3 desigualdades triangulares : cada lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia [1] :11 .

La suma de todos los lados siempre es menor que [1] :11 . $a+b+c$ $2\pi$
- La cantidad se denomina
defecto esférico [4] [5] . $2\pi -(a+b+c)$

La suma de los ángulos de un triángulo esférico es siempre menor y mayor [6] [7] [1] :14—15 . $s=\alfa +\beta +\gamma$ $3\pi$ $\Pi$
- El valor se denomina
exceso esférico o curtosis esférica [4] . $s-\pi=\varepsilon$
El área de un triángulo esférico está determinada por la fórmula . La proporcionalidad del área al exceso esférico se sigue del recubrimiento de la esfera por tres digones , formando un triángulo esférico. [8] [9] [1] :44 $S=R^{2}\varepsilon =R^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$

Si restamos el tercero de dos ángulos de un triángulo esférico, obtenemos un ángulo menor que [1] :15 . $\Pi$
A diferencia de un triángulo plano, un triángulo esférico puede tener dos o tres ángulos rectos u obtusos.

Solución de triángulos esféricos

Un triángulo esférico rectángulo está completamente definido por dos elementos, los otros tres se encuentran usando la regla mnemotécnica de Napier . Y para resolver un triángulo esférico oblicuo, necesitas conocer tres de sus elementos. Para resolver, puedes usar las siguientes relaciones entre ellos [1] :102-139 :

Fórmula de medio lado y fórmula de medio ángulo: al resolver en tres lados y tres ángulos;
Fórmulas de analogía de Napier : al resolver en dos lados y el ángulo entre ellos y en dos ángulos y el lado adyacente a ellos;
El teorema del seno y las fórmulas de analogía de Napier - al resolver en dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos y en dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

Comentarios

↑ Un polo con respecto a AB es un punto X de la esfera tal que el segmento OX (aquí O es el centro de la esfera) es perpendicular al plano del gran círculo AB. [2] Hay dos puntos de este tipo. Por ejemplo, si AB es el arco del ecuador, entonces los polos de AB son los polos norte y sur.

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Stepanov N. N. Trigonometría esférica. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.
↑ Enciclopedia de Matemáticas Elementales, 1963 , p. 521.
↑ Enciclopedia de Matemáticas Elementales, 1963 , p. 530.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Manual de matemáticas para científicos e ingenieros. — M .: Nauka, 1974.
↑ Triángulo esférico
↑ Artículo archivado el 23 de septiembre de 2013 en Wayback Machine en Advances in the Physical Sciences
↑ Weisstein, Eric W. Triángulo esférico en Wolfram MathWorld .
↑ Wentzel M. K. Trigonometría esférica. - 2ª ed., IGKL, 1948, 115 p. (disponible en bookfi.org ). Para una demostración rigurosa de que el área es proporcional al exceso esférico, véase la pág. 82
↑ Vasiliev N., Gutenmakher V. La suma de los ángulos de un polígono esférico Copia de archivo del 5 de febrero de 2018 en Wayback Machine // Kvant , No. 2, 1988

Literatura

Prasolov VV Geometría de Lobachevsky. - M. , 1995.(§ 1. Geometría esférica.)
Conceptos básicos de geometría esférica y trigonometría // Enciclopedia de matemáticas elementales. - Fizmatgiz, 1963. - V. 4 (geometría) . - S. 518-558 .

Enlaces

Una guía de referencia rápida para trigonometría esférica
Artículo de Wolfram MathWorld [1]

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