Teorema del seno esférico
El teorema del seno esférico establece la proporcionalidad entre los senos de los lados a , b , c y los senos de los ángulos A , B , C opuestos a estos lados de un triángulo esférico :
El teorema del seno esférico es un análogo del teorema del seno plano y pasa a este último en el límite de pequeñez de los lados de los triángulos en comparación con el radio de la esfera.
PruebaPrueba por proyecciones [1] . La figura muestra un triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio R con centro en O. BP es perpendicular al plano del gran círculo que pasa por el lado b , BM es perpendicular a OC , BN es perpendicular a OA . Por el inverso del teorema de las tres perpendiculares , PM es la perpendicular a OC , PN es la perpendicular a OA . Tenga en cuenta que el ángulo PMB es igual a π - C, además, BN = R sin c y BM = R sin a. Luego, proyectando BN y BM sobre BP , obtenemos:
Análogamente, obtenemos la segunda igualdad.
Una prueba basada en las relaciones ya probadas entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo esférico. Dejemos caer la perpendicular CD = h del vértice C al lado c o su prolongación. Expresamos h de dos formas a partir de los triángulos rectángulos ACD y BCD resultantes :
De aquí obtenemos la proporción
a lo que añadimos de manera similar la razón del tercer par de ángulos laterales.
Historia
El teorema del seno para triángulos esféricos fue formulado y probado en los escritos de varios matemáticos del Oriente medieval que vivieron en el siglo X d.C. mi. - Abu-l-Vafa , al-Khojandi e Ibn Iraq . Este teorema permitió simplificar las soluciones de una serie de problemas de la astronomía esférica, que previamente se habían resuelto utilizando el teorema de Menelao para un cuadrilátero completo .
Véase también
Notas
- ↑ Citado según la publicación: Stepanov N.N. Fórmulas del seno // Trigonometría esférica . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 29 -32. — 154 pág.
Literatura
- Matvievskaya G.P. Ensayos sobre la historia de la trigonometría. Taskent: Fan, 1990.
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