Tensor de energía-momento

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El tensor energía-momentum (EMT) es un tensor simétrico de segundo rango (valencia) que describe la densidad y el flujo de energía y el momento de los campos de materia [1] y determina la interacción de estos campos con el campo gravitacional .

El tensor energía-momento es una generalización relativista adicional de los conceptos de energía y momento en la mecánica continua clásica . Una generalización de conceptos cercana a ella es el 4-vector de energía-momento de una partícula en la teoría especial de la relatividad .

Componentes del tensor energía-momento

El tensor de energía-momento se puede escribir como una matriz simétrica real de 4x4:

T^{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matriz} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matriz} \right).

Contiene las siguientes cantidades físicas:

T 00 - densidad de energía volumétrica . Como regla, debería ser positivo , sin embargo, teóricamente se permite la existencia de regiones espaciales locales con una densidad de energía negativa. En particular, dicha región se puede crear utilizando el efecto Casimir [2] .
T 10 , T 20 , T 30 son los componentes del momento de densidad multiplicado por c .
T 01 , T 02 , T 03 son los componentes del flujo de energía ( vector de Poynting ) dividido por c . Debido a la simetría de T μν, se observa la siguiente igualdad: T 0μ = T μ0
Submatriz 3 x 3 de componentes puramente espaciales

T^{ik} \ = \ \left( \begin{matriz} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{21} & T^{22} & T^{ 23} \\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matriz} \right)

es el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento tridimensional, o el tensor de tensión con un signo menos.

Así, las componentes del tensor energía-momento tienen la dimensión ML −1 T −2 .

Casos especiales

En mecánica de fluidos, sus componentes diagonales corresponden a la presión, y las demás componentes corresponden a fuerzas tangenciales (esfuerzos o, en la antigua terminología, tensiones) causadas por la viscosidad .

Para un fluido en reposo, el tensor de energía-momento se reduce a una matriz diagonal , donde es la densidad de masa y es la presión hidrostática. ${\rm {diag}}({{\rho}c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $pags$

En el caso simple de materia polvorienta , el tensor de energía-momento se escribe como

T^{ik} = \rho\, u^iu^k

donde está la densidad de masa ( reposo ), son los componentes de 4 velocidades - también está escrito para el caso más simple, cuando todas las partículas de polvo se mueven a la misma velocidad al menos localmente, y si este último no es el caso, la expresión debe también puede sumarse (integrarse) sobre las velocidades. $\rho$ $tu ^ yo, tu ^ k$

Tensor canónico de energía-momento

En la teoría especial de la relatividad, las leyes físicas son las mismas en todos los puntos del espacio-tiempo, por lo que las traslaciones de las 4 coordenadas no deberían cambiar las ecuaciones de movimiento del campo. Así, según el teorema de Noether , las traslaciones espacio-temporales infinitesimales deben corresponder a un flujo noetheriano conservado, que en este caso se denomina EMT canónica.

Para el Lagrangiano (densidad de la función de Lagrange) , que depende de las funciones de campo y sus primeras derivadas, pero no depende de las coordenadas, el funcional de acción será invariante bajo traslaciones: $\mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i )$ ${\ estilo de visualización \ phi _{i))$

\begin{casos} x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\ \phi_i(x) \to \phi_i^{ \prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x). \end{casos}

Del teorema de Noether se seguirá la ley de conservación de la EMT canónica (escrita en coordenadas galileanas)

{{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M)) {\parcial (\parcial_ {\mu} \phi_{i})} \parcial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu ,

que parece

\parcial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.

La EMT canónica en su forma totalmente contravariante tiene la forma

T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\parcial \mathcal{L }_\mathrm{M)) {\parcial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \parcial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g ^{\mu\nu}.

Este tensor es ambiguo. La propiedad de ambigüedad se puede utilizar para llevar, en términos generales, un tensor asimétrico a una forma simetrizada agregando una cantidad de tensor donde el tensor es antisimétrico en los dos últimos índices . De hecho, para un EMT simetrizado $T^{\mu\nu}$ $\frac{\parcial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\parcial x^{\lambda}}\;,$ $\psi^{\mu\nu\lambda}\;$ ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }=-\psi ^{\mu \lambda \nu ))$

\Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \parcial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda}

automáticamente sigue la ley de conservación $\parcial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 .$

Tensor de energía-momento métrico

En la teoría general de la relatividad , la denominada EMT métrica se expresa en términos de la derivada variacional respecto del tensor métrico en un punto del espacio-tiempo a partir de la densidad lagrangiana del funcional de acción, el cual es invariante ante cambios de coordenadas : $T^ {\ mu\nu} (x)$ $g_{\mu\nu}$ $X$

{T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g)) \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M} )}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\ matemáticas{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=

=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\parcial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \parcial g_{\mu \ nu} (x)}-\frac{\parcial}{\parcial x^\lambda}\frac {\parcial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\parcial\ displaystyle\frac{\parcial g_{\mu \nu} (x)}{\parcial x^\lambda))+\ldots\right),

donde Este tensor de energía-momento es obviamente simétrico. La métrica EMT está incluida en las ecuaciones de Einstein como fuente externa del campo gravitatorio: $g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ).$

\frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x),

donde es el tensor de Ricci , es la curvatura escalar . Para este tensor, debido a la invariancia de la acción con respecto a las sustituciones de coordenadas, es válida una ley de conservación diferencial en la forma $R_{\mu\nu}$ $R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu }$

T^\mu_{\nu;\mu}=0.

El tensor energía-momento en la electrodinámica clásica

En electrodinámica clásica , el tensor energía-momento del campo electromagnético en el Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la forma:

T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2}

\begin{pmatrix} T_{01} & T_{02} & T_{03} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{10} & T_{20} & T_{30} \end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right]

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}.

Los componentes espaciales forman un tensor tridimensional, que se denomina tensor de tensión de Maxwell [3] o tensor de tensión de Maxwell [4] . $T_{ij}$

En forma covariante , podemos escribir:

T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \ eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}]\,.

El tensor energía-momentum en la teoría cuántica de campos

Notas

↑ Los campos de materia (campos materiales) en la teoría general de la relatividad se denominan tradicionalmente todos los campos, excepto los gravitacionales.
↑ M. Morris, K. Thorne y U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition Archivado el 17 de julio de 2012. , Physical Review , 61 , 13, septiembre de 1988, págs. 1446-1449
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoría de campo. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988 . - Pág. 115. - ("Física Teórica", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu. P. Tensor de tensión de Maxwell // Enciclopedia física / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Gran Enciclopedia Rusa , 1992. - T. 3. Compresor de magnetoplasma - Teorema de Poynting. - S. 32-33. — 672 pág. - 48.000 ejemplares. — ISBN 5-85270-019-3 .

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 8ª edición, estereotipada. — M .: Fizmatlit , 2001. — 534 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
- § 32 - TEI canónico
- § 94 - TEI métrico.