Teorema de Ascoli-Arzela

El teorema de Arzela es un enunciado que es un criterio para la precompacidad de un conjunto en un espacio métrico completo en el caso especial cuando el espacio bajo consideración es el espacio de funciones continuas en un segmento de la línea real . Nombrado en honor al autor, Cesare Arcela .

El teorema de Arzela-Ascoli (o Ascoli-Artzela) es una generalización del teorema de Arzela para el caso en que se consideran familias de aplicaciones de conjuntos compactos métricos ( el teorema de Arzela generalizado ).

La aplicación del teorema de Arzela está relacionada con las propiedades especiales de las familias bajo consideración, a saber: con acotación uniforme y equicontinuidad .

Introducción

En el análisis matemático (y más tarde en el análisis funcional ), se consideran todas las posibles familias de funciones continuas dadas en conjuntos especiales ( métrica compacta ) y se investiga la cuestión de la "completitud" de tales familias. En particular, surge la pregunta sobre la existencia de un límite , por ejemplo, para una sucesión de funciones numéricas continuas , dadas en el intervalo , así como sobre las propiedades de este límite. Según el criterio de Cauchy , el límite uniforme de las funciones continuas también es una función continua, lo que significa que el espacio es completo . Lo esencial aquí es que el dominio de definición de funciones es un subconjunto compacto de la línea real (segmento), y las funciones toman valores en un espacio métrico completo. Obtenemos un resultado similar si tomamos la clase de aplicaciones continuas de un conjunto compacto métrico arbitrario en un espacio métrico completo. $[a,b]$ $Taxi]$

La completitud de la clase permite aproximar cualquier función continua mediante una secuencia de aproximaciones, cada una de las cuales es una función en cierto sentido “más simple” que la original. Esto se evidencia por el teorema de Weierstrass : cada función continua en un intervalo puede aproximarse arbitrariamente con polinomios. $Taxi]$

El teorema de Arzela se refiere al caso cuando se considera una cierta familia de funciones continuas , donde es un conjunto compacto métrico y es un espacio métrico completo, y se investiga la cuestión de si es posible separar una subsecuencia convergente de esta familia. . Dado que el espacio es completo, la existencia de un punto límite significa esencialmente que la familia es precompacta en . Por lo tanto, el teorema se puede formular de forma general, hablando específicamente de precompacidad. $F\subconjunto C(K,Y)$ $k$ $Y$ $C(K,Y)$ $F$ $C(K,Y)$

Así, el teorema de Arzela es un criterio para la precompacidad de una familia de funciones continuas definidas sobre un conjunto compacto y actuando sobre un espacio métrico completo.

El criterio existente para la precompacidad de un conjunto en un espacio completo requiere comprobar que el conjunto dado está completamente acotado . En la práctica, este criterio no es efectivo. Por lo tanto, parece conveniente utilizar de alguna manera las propiedades de las funciones incluidas en la familia para obtener un criterio de precompacidad adecuado para la aplicación práctica.

En el curso de la investigación, resultó que tales propiedades son las propiedades de acotación uniforme y equicontinuidad de la familia bajo consideración.

La mención de la continuidad equidistante fue hecha simultáneamente por Giulio Ascoli (1883-1884) [1] y Cesare Arcela (1882-1883) [2] . La forma débil del teorema fue probada por Ascoli en 1883-1884 [1] , quien estableció condiciones suficientes para la compacidad, y por Arcela en 1895 [3] , quien dio la condición necesaria y dio la primera interpretación clara del resultado. Fréchet (1906) [4] demostró una mayor generalización del teorema para espacios en los que la noción de límite tiene sentido, como un espacio métrico o un espacio de Hausdorff Dunford, Schwartz (1958) [5] . Las formulaciones modernas del teorema permiten que el dominio y el rango sean espacios métricos. La formulación más general del teorema da una condición necesaria y suficiente para que una familia de funciones desde un espacio compacto de Hausdorff hasta un espacio uniforme sea compacta en la topología de convergencia uniforme de Bourbaki (1998, § 2.5) [6] .

Definiciones

Considere el espacio de funciones continuas definido en el intervalo , junto con la métrica de convergencia uniforme. Este es un espacio métrico completo . Se sabe que: $Taxi]$ $[a,b]$

Para que algún subconjunto de un espacio métrico completo sea precompacto, es necesario y suficiente que esté completamente acotado.

En el caso del espacio , sin embargo, se puede utilizar un criterio de precompacidad más eficiente, pero para ello hay que introducir los dos conceptos siguientes. $Taxi]$

Supongamos que hay alguna familia de funciones continuas definidas sobre el segmento . $F$ $[a,b]$

Acotación Uniforme

Una familia se llama uniformemente acotada si hay una constante común para todos los elementos de la familia , que limita todas las funciones de la familia: $F$ $k$

\forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K

Equicontinuidad

Una familia se llama equicontinua si para cualquier existe tal que para cualquier elemento y para cualquier punto y tal que se cumple la desigualdad estricta . $F$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\en F$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Redacción

Teorema.

Una familia funcional es precompacta en un espacio métrico completo si y solo si esta familia es $F$ $Taxi]$

delimitado uniformemente
igualmente continua.

Prueba

De hecho, es necesario mostrar que ambas propiedades de una familia de funciones son equivalentes a la acotación completa de esta familia.

Necesidad

Entonces, que la familia esté completamente unida . $F$

Arreglamos y construimos una red finita de la forma: . $\varepsilon >0$ $(\ varepsilon /3)$ $\{\varphi _{i}\}_{{i=1}}^{n}$

Dado que cada función de este sistema es continua y, por lo tanto, acotada, entonces para cada función existe su propia constante tal que, para cualquier . $K_{yo}$ ${\ estilo de visualización | \ varphi _ {i} (x) | <K_ {i))$ $x\en[a,b]$

Como hay un conjunto finito de tales funciones, podemos tomar . $K=\max _{{i}}K_{i}+\varepsilon /3$

Ahora, si tomamos una función arbitraria , entonces para esta función hay un elemento de red tal que para cualquier . Obviamente, en este caso la función estará limitada a la constante . $f\en F$ $\varphi _{i}$ $(\ varepsilon /3)$ $|f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3$ $x\en[a,b]$ $F$ $k$

Esto demuestra que la familia está uniformemente delimitada . $F$

Nuevamente, debido a la continuidad de cada elemento de la red, este elemento también resulta ser uniformemente continuo y, por lo tanto, se puede elegir tal que para cualquier punto tal que . $(\ varepsilon /3)$ $(\ varepsilon /3)$ $\delta _{i}$ $|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3$ $x_{1},x_{2}\en [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}$

deja _ $\delta =\min _{{i}}\delta _{i}$

Si ahora consideramos una función arbitraria , entonces para la dada habrá una desigualdad estricta para cualquier punto tal que . $f\en F$ $\varepsilon >0$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $x_{1},x_{2}\en [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$

De hecho, , donde es un elemento adecuado de la red. $|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}( x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$ $\varphi _{i}$ $(\ varepsilon /3)$

Esto demuestra que la familia es equicontinua . $F$

En otras palabras, la acotación completa implica acotación uniforme y equicontinuidad.

Suficiencia

Ahora es necesario demostrar que la acotación uniforme y la equicontinuidad de la familia implican la existencia de una red finita para todo finito . $F$ $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

Nosotros arreglamos $\varepsilon >0$

Sea una constante que aparece en la definición de acotación uniforme. $k$

Elijamos la que aparece en la definición de continuidad uniforme y corresponde al valor . $\delta>0$ $\varepsilon /5$

Consideremos un rectángulo y dividámoslo por líneas verticales y horizontales en celdas rectangulares más pequeñas que las horizontales y verticales. Sean , , , los nodos de esta red (a lo largo del eje x ). $[a,b]\veces [-K,K]$ $\delta$ $\varepsilon /5$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\puntos$ $x_{N}$

Si ahora consideramos una función arbitraria , entonces para cada nodo de la red debe haber un punto de red tal que . Si ahora consideramos la función de línea discontinua , que en los nodos toma los valores correspondientes que se desvían de la función como máximo , entonces, debido al hecho de que la función misma se desvía en cada segmento como máximo , la línea discontinua se desvía como máximo como máximo en cada uno de esos segmentos . $f\en F$ $x_{yo}$ $(x_{i},y_{j})$ $|f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5$ $\varphi$ $\varepsilon /5$ $\varepsilon /5$ $3\varepsilon /5$

Dado que cada punto del segmento está en uno de estos segmentos, digamos, resulta que la desviación de la función de la línea discontinua construida de esta manera no excede : $X$ $[a,b]$ $[x_{k},x_{k}+1]$ $\varepsilon$

|f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\ varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon

Así, se muestra que un sistema finito (!) de funciones rotas del tipo indicado es un -net para un . $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

Aplicaciones

El teorema de Arzela encuentra su aplicación en la teoría de ecuaciones diferenciales .

En el teorema de Peano (sobre la existencia de una solución al problema de Cauchy ), se construye un sistema de funciones, que en la teoría de ecuaciones diferenciales se denomina líneas quebradas de Euler . Este sistema resulta ser una familia de funciones uniformemente acotada y equicontinua, de la que, según el teorema de Arzela, se puede separar una sucesión de funciones uniformemente convergentes, cuyo límite será la solución deseada del problema de Cauchy.

Véase también

Lema de Artsela
El teorema de Montel sobre una familia compacta de funciones es una consecuencia del teorema de Arzela.

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S.V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. tercero, revisado. — M .: Nauka , 1972 . — 496 pág.

Notas

↑ 1 2 Ascoli, G. (1883-1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. ciencia Fis. Estera. Nat. 18(3): 521-586.
↑ Arzelà, Cesare (1882-1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142-159.
↑ Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Acad. ciencia Ist. Bolonia Cl. ciencia Fis. Estera. 5(5):55-74.
↑ Fréchet, Maurice (1906), "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Rend. Circ. Estera. Palermo 22:1-74, doi:10.1007/BF03018603.
↑ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Operadores lineales, volumen 1, Wiley-Interscience.
↑ Bourbaki, Nicolas (1998), Topología general. Capítulos 5-10, Elements of Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4 .