Teorema del índice de Atiyah-Singer

El teorema del índice de Atiyah-Singer es una afirmación sobre la igualdad de los índices analítico y topológico de un operador elíptico en una variedad cerrada [1] . Establecido y probado en 1963 por Michael Athya e Isadore Singer .

El resultado contribuyó al descubrimiento de nuevas conexiones entre la topología algebraica , la geometría diferencial y el análisis global [2] , encontró aplicación en la física teórica y el estudio de sus generalizaciones formó una dirección separada de la teoría del índice [3] . $k$

Definiciones y redacción

El índice analítico de un operador diferencial , donde y son paquetes de vectores uniformes sobre una variedad cerrada diferenciable , es la diferencia entre las dimensiones de su kernel y cokernel : $d\dos puntos C^{\infty}(E)\to C^{\infty}(F)$ $mi$ $F$ $X$

i_{a}(d)={\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Ker}}\,d-{\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Coker}}\,d={\ mathrm {dim}}\,d^{{-1}}(0)-{\mathrm {dim}}\,C^{\infty}(F)/d(C^{\infty}(E))

Para operadores elípticos estas dimensiones son finitas.

El índice topológico de un operador elíptico se define como: $d\dos puntos C^{\infty}(E)\to C^{\infty}(F)$

i_{t}(d)=\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}[\Sigma (X)]

donde es el símbolo del operador que define el isomorfismo de ascensores , es el paquete de esferas unitarias del paquete cotangente de la variedad , es el paquete sobre el pegado de dos instancias del espacio de paquetes de bolas unitarias en ( es el límite ) ; es el carácter cohomológico del haz de Chern ; es la clase de cohomología de Todd del paquete cotangente complejizado ; ; , y la parte " " significa tomar la componente -dimensional del elemento en el ciclo fundamental de la variedad . $\sigma (d)$ $d$ $\sigma (d)\colon \pi ^{*}(E)\to \pi ^{*}(F)$ $\pi \colon S(X)\to X$ $T^{*}X$ $X$ $V(\sigma)$ $\pi ^{{+*}}(E)\cup _{\sigma}(d)\pi ^{{-*}}(F)$ $\Sigma (X)=B^{+}\cup_{{S(X)}}B^{-}$ $B(X)$ $T^{*}X$ $S(X)$ $B(X)$ ${\mathrm {ch}}\,V(\sigma )$ $V(\sigma)$ ${\ matemática T} (X)$ $T^{*}X\otimes_{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\pi _{\Sigma}^{*}\dos puntos \Sigma (X)\to X$ $\pi _{\Sigma}^{*}{\mathcal T}(X)={\mathcal T}(\Sigma (X))$ $[\Sigma(X)]$ $2n$ $\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}$ $\Sigma (X)$

La afirmación del teorema consiste en la igualdad de los índices analítico y topológico de operadores elípticos sobre variedades cerradas.

Historia

Las manifestaciones particulares de la relación expresada en el teorema del índice se descubrieron en el siglo XIX, como, por ejemplo, la fórmula de Gauss-Bonnet , que conecta la característica de Euler de una superficie con su curvatura gaussiana y la curvatura geodésica de su límite, así como sus generalizaciones multidimensionales. Otra manifestación de tal conexión es el teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas no singulares (1865) y su generalización a fibrados vectoriales arbitrarios en variedades complejas compactas es el teorema de Riemann-Roch-Hirzebruch (1954).

La cuestión de una posible relación entre el índice analítico de los operadores elípticos y sus características topológicas fue formulada por Israel Gelfand en 1960 [4] , llamando la atención sobre la invariancia del índice analítico con respecto a las deformaciones del operador. En 1963, Atiya y Singer encontraron tal característica topológica; en 1964 se publicó una prueba para variedades con límite . Las primeras versiones de la prueba utilizaron una técnica similar a la prueba de la generalización de la hipótesis de Riemann-Roch de Friedrich Hirzebruch , en gran medida involucraron los medios de la teoría de la cohomología y el cobordismo , y se distinguieron por una considerable complejidad técnica [5 ] . Unos años más tarde, la formulación y la prueba se tradujeron al lenguaje de la teoría , lo que simplificó significativamente la prueba y abrió la posibilidad de más generalizaciones, y en las décadas de 1970 y 1990, se obtuvieron análogos del teorema para clases especiales más amplias y diferentes. de objetos $k$

El teorema del índice (junto con la teoría y un análogo de la fórmula de Lefschetz para operadores elípticos) se mencionó en la nominación de Atiyah para el Premio Fields de 1966 . En 2004, Atiyah y Singer recibieron el Premio Abel [6] por su teorema del índice . $k$

Consecuencias

Del teorema se sigue que el índice topológico de un operador elíptico en una variedad cerrada es un número entero [1] . Otra consecuencia es que los índices analítico y topológico de un operador sobre una variedad de dimensión impar son iguales a cero [1] .

El teorema de Riemann-Roch y sus generalizaciones, el teorema de Riemann-Roch-Hirzebruch y el teorema de Riemann-Roch-Grothendieck , son consecuencias naturales del teorema del índice.

Notas

↑ 1 2 3 Sardanashvili G. A. Geometría y campos cuánticos. — Métodos modernos de la teoría de campos. - M. : URSS, 2000. - T. 4. - S. 146. - 160 p.
↑ La ciencia vive : Michael Atiyah . Fundación Simons. Consultado el 26 de agosto de 2014. Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2013.
↑ 19K56 - Teoría de índices . Clasificación de Materias Matemáticas . MAM (2010). Consultado: 30 de agosto de 2014. (indefinido)
↑ IM Gelfand. Sobre ecuaciones elípticas // Avances en Ciencias Matemáticas . - Academia Rusa de Ciencias , 1960. - T. 15 , no. 9 , núm. 93 . - S. 121-132 . — ISSN 0042-1316 . -doi : 10.1070/ RM1960v015n03ABEH004094 . (Ruso)
↑ Atiyah, Cantante, 1968 .
↑ El antiguo teorema se apreció por mérito (enlace inaccesible) . MIGNoticias.com. Consultado el 26 de agosto de 2014. Archivado desde el original el 26 de agosto de 2014. (indefinido)

Literatura

R. pálido. Seminario sobre el teorema del índice de Atiyah-Singer. — M .: Mir, 1970.
M. F. Atiya, I. M. Zinger. Índice de operadores elípticos. I = El índice de operadores elípticos. I // Avances en Ciencias Matemáticas / Per. De inglés. S. I. Gelfand. - Academia Rusa de Ciencias , 1968. - T. 23 , no. 5 , núm. 143 . - S. 99-142 . — ISSN 0042-1316 . (Ruso)
Índice de fórmulas - Artículo de la Enciclopedia de las Matemáticas . M. I. Voitsekhovsky, M. A. Shubin