Teorema del valor medio de Vinogradov

El teorema del valor medio de Vinogradov es un teorema de la teoría analítica de números sobre la estimación del valor medio de la integral de algunas sumas trigonométricas , también llamada integral de Vinogradov ; resultado clave utilizado en el método de las sumas trigonométricas . El teorema es de interés, en particular, porque la integral estimada en él es igual al número de soluciones en números enteros de un intervalo suficientemente grande de un sistema de ecuaciones de una forma especial.

Designaciones adoptadas en el artículo

Dado que el teorema se refiere directamente a las sumas trigonométricas (y, por lo tanto, a los exponentes con exponente complejo ), por brevedad y conveniencia usaremos la notación , donde puede ser cualquier número. ${\displaystyle e\left({\alpha }\right)=e^{2\pi \alpha i))$ $\alpha \in {\mathbb {R} }$

Descripción general del problema

Sean dados los números naturales fijos . Considere el sistema de ecuaciones $n k$

\left\{{\begin{matriz}x_{1}+x_{2}+\puntos +x_{k}=y_{1}+y_{2}+\puntos +y_{k}\\ {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\puntos +{x_{k}}^{2}={y_{1}}^{2}+{y_{ 2}}^{2}+\puntos +{y_{k}}^{2}\\\puntos \\{x_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}+\ puntos +{x_{k}}^{n}={y_{1}}^{n}+{y_{2}}^{n}+\puntos +{y_{k}}^{n}\end {matriz}}\derecha.

o, más formalmente,

\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}=\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j} }^{i}},i=1,\puntos,n

La necesidad de considerar tal sistema surge, por ejemplo, en la solución analítica del problema de Waring , pero puede (en formulaciones modificadas) aplicarse en otras áreas.

Si denotamos por el número de soluciones enteras del sistema especificado dentro de , entonces la pregunta principal se formula de la siguiente manera: ¿qué tan rápido crece con el crecimiento ? ${\ Displaystyle J_ {k, n} (P)}$ $x_{i},y_{i}\in [1;P],i=1,\dots,k$ ${\ Displaystyle J_ {k, n} (P)}$ $PAGS$

Una estimación trivial sería obviamente ${\displaystyle J_{k,n}(P)\leq P^{2k))$

El teorema de Vinogradov da estimaciones directas (no asintóticas ), mucho mejores que las triviales, desde arriba sobre la cantidad para fijo y . ${\ Displaystyle J_ {k, n} (P)}$ $k$ $norte$

Formulación integral

Como es habitual cuando se utilizan sumas trigonométricas , la condición de que las variables correspondan a la ecuación se puede expresar mediante la identidad

{\Bigg [}\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{ {y_{j}}^{i}}=0{\Bigg ]}=\int \limits _{0}^{1}{e\left({\left({\sum \limits _{j=1 }^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha }\right)d\alfa }

Por lo tanto, el número de soluciones del sistema de ecuaciones satisface la expresión

J_{n,k}(P)=\sum \limits _{1\leq x_{j},y_{j}\leq P}{\prod \limits _{i=1}^{n} {\int \limits _{0}^{1}{e\left({\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}- \sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha }\right)d\alpha }}}=\sum \limits _{1 \leq x_{j},y_{j}\leq P}\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{e\left({\sum \ límites _ {i=1}^{n}{\left({\sum \limits_{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits_{j =1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha _{i}}}\right)}d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n }=

=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{\sum \limits _{1\leq x_{j},y_{j}\ leq P}e\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j))^{ i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha _{i}}}\right)}d\alpha _ {1}\dots d\alpha _{n}=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{\sum \limits _{1\leq x_ {j},y_{j}\leq P}e{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n {x_{j}}^{i}\alpha _{i}}\right)}-\sum \limits _{j=1}^{k}{\left({\sum \limits _{i= 1}^{n}{y_{j}}^{i}\alpha _{i}}\right)}}\right)}}d\alpha _{1}\puntos d\alpha _{n}=

=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{x=1}^{ P}e\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x^{i))}\right)}{\Bigg \vert }^{2k)) d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n}=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{{\Bigg \vert} {\sum \limits _{x=1}^{P}e\left({\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\dots +\alpha _{k}x^ {k}}\right)}{\Bigg \vert }^{2k}}d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n}

Así, el valor deseado se estima a través de la integral sobre las sumas de Weyl , y se puede estimar utilizando métodos comunes a estas sumas.

Enunciados del teorema

Aunque la principal ventaja del teorema es la limitación del orden de crecimiento con respecto a , el factor constante (para fijo y ) que acompaña a este orden de crecimiento también se puede expresar explícitamente en la demostración. ${\ Displaystyle J_ {k, n} (P)}$ $PAGS$ $k$ $norte$

Además, las estimaciones obtenidas en el teorema resultan mejores cuanto más supera el parámetro al parámetro . Por ello, se suele introducir un parámetro adicional expresando el ratio o de alguna otra forma parametrizando el crecimiento con respecto a . $k$ $norte$ $\tau$ ${\ estilo de visualización {\ frac {k} {n}}}$ $k$ $norte$

En este sentido, y también debido a la complejidad de las demostraciones del teorema y la gran cantidad de detalles que contiene, en varias formulaciones del teorema, las constantes utilizadas y las expresiones dependen únicamente de y pueden diferir. En particular, los valores de dichos factores han disminuido y las restricciones sobre los valores se han relajado en diferentes momentos por diferentes matemáticos. $k$ $norte$ $(k, n)$

En el libro de I. M. Vinogradov en 1971, se da la siguiente redacción:

deja _ Para un número entero , denote . ${\ estilo de visualización n \ geq 12}$ $\tau$ $k_{\tau}=n\tau +\left\lpiso {{\frac {n(n+1)}{4))+1}\right\rpiso$

entonces cuando ${\ Displaystyle k> k_ {\ tau}}$ $J_{k,n}(P)<(20n)^{{\frac {n(n+1)}{2}}\tau }P^{2k-{\frac {n(n+1) ) )}{2}}+{\frac {n(n+1)}{2}}\left({1-{\frac {1}{n}}}\right)^{\tau }}$

El libro de texto de 1983 de A. A. Karatsuba demuestra:

Sea un número entero, , . entonces donde ${\ estilo de visualización \ tau> 0}$ $k\geq n\tau$ $P\geq 1$ ${\displaystyle J_{k,n}(P)\leq D_{\tau,n}P^{2k-\delta (\tau,n)))$

$\delta (\tau,n)={\frac {n(n+1)}{2}}\left({1-\left({1-{\frac {1}{n}}} \right)^{\tau))\right)$ ;

$D_{\tau,n}=(n\tau)^{6n\tau}(2n)^{4n(n+1)\tau}$

Lema principal

Esencia de la declaración

La cuestión de estimar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones.

\left\{{\begin{matriz}x_{1}+x_{2}+\puntos +x_{k}=y_{1}+y_{2}+\puntos +y_{k}\\ {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\puntos +{x_{k}}^{2}={y_{1}}^{2}+{y_{ 2}}^{2}+\puntos +{y_{k}}^{2}\\\puntos \\{x_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}+\ puntos +{x_{k}}^{n}={y_{1}}^{n}+{y_{2}}^{n}+\puntos +{y_{k}}^{n}\end {matriz}}\derecha.

está directamente relacionado con la cuestión del número de soluciones del sistema

\left\{{\begin{matriz}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{k}=\lambda _{1}\\{x_{1}}^{2}+ {x_{2}}^{2}+\puntos +{x_{k}}^{2}=\lambda _{2}\\\puntos \\{x_{1}}^{n}+{x_ {2}}^{n}+\puntos +{x_{k}}^{n}=\lambda _{k}\end{matriz}}\right.

en fijo . Un problema similar a este, pero algo facilitado por condiciones especiales y relajación de requisitos, puede resolverse directamente. Es la solución de tal problema lo que constituye el lema principal, que juega el papel principal en la demostración del teorema de Vinogradov. Las condiciones especiales necesarias para la posibilidad de una solución directa del problema son que: ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ puntos, \ lambda _ {k}}$

se supone que el número de variables es igual al número de ecuaciones;
se supone que las variables toman valores de diferentes intervalos muy separados, es decir, la diferencia entre cualquier diferente y excede un valor predeterminado; $x_{yo}$ $x_{j}$
en lugar del requisito de igualdad , se analiza el requisito de pertenecer a un intervalo relativamente corto, es decir, para un intervalo dado de pequeña longitud. ${x_{1}}^{s}+{x_{2}}^{s}+\puntos +{x_{k}}^{s}=\lambda _{s}$ ${x_{1}}^{s}+{x_{2}}^{s}+\puntos +{x_{k}}^{s}\en I_{s}$ ${\ Displaystyle I_ {s}}$

El número limitado de soluciones bajo condiciones dadas es obvio debido a la convexidad de las funciones ; de hecho, si la función es convexa y los intervalos están significativamente separados, entonces la diferencia en los valores de la derivada de esta función en estos intervalos es muy diferente. Esto significa que los valores de los números del segundo intervalo se ubicarán en la línea de coordenadas de forma más dispersa que los valores de los números del primer intervalo. En consecuencia, cambios idénticos (pero dirigidos de manera diferente) en algunas dos variables implican, en la mayoría de los casos, un cambio desigual en el valor de la función, de modo que cuando la suma permanece dentro de un cierto intervalo corto cuando cambia la variable , la suma cambia de valor . en un intervalo muy grande. Si este gran intervalo es mayor que el requerido, entonces el número de soluciones será correspondientemente pequeño. ${\displaystyle x^{2},x^{3},\puntos,x^{n))$ $F$ $F$ $x_{1}+x_{2}$ $x_{1}$ ${\ estilo de visualización f (x_ {1}) + f (x_ {2})}$

Sin embargo, las propias consideraciones de convexidad no se utilizan en la demostración clásica del teorema, ya que analiza directamente las propiedades de las potencias enteras y los coeficientes de los polinomios obtenidos a partir de ellas .

Redacción estricta

Aquí está la redacción del libro de Karatsuba. La formulación en el libro de Vinogradov es similar, solo que los multiplicadores que dependen de son ligeramente diferentes . $norte$

Deje , , . Veamos también números enteros de intervalos ${\displaystyle n>2,P>{(2n)}^{4n))$ ${\ estilo de visualización H = {(2n)}^{4}}$ $R={\frac{P}{H}}$ $v_{1},\puntos,v_{n}$

X_{1}<v_{1}\leq Y_{1},\dots,X_{n}<v_{n}\leq Y_{n},

donde por alguna condición tenemos $\omega$ ${\ estilo de visualización 0 \ leq \ omega <P}$

-\omega <X_{1},\ X_{1}+R=Y_{1},\ Y_{1}+R\leq X_{2},\dots,X_{n}+R=Y_ {n},Y_{n}\leq -\omega +P

Entonces, el número de sistemas de valores tales que las sumas se encuentran, respectivamente, en cualquier intervalo con longitudes satisface la desigualdad $E_1$ $v_{1},\puntos,v_{n}$ $V_{1}=v_{1}+\puntos +v_{n},\puntos,V_{n}={v_{1}}^{n}+\puntos +{v_{n}}^ {norte}$ ${\ estilo de visualización 1, \ puntos, P ^ {n-1}}$

E_{1}<e^{r(n)-1}H^{\frac {n(n-1)}{2)),\ r(n)=-{\frac {n^{ 2}}{2}}\ln {n}+{\frac {3}{4}}n^{2}+{\frac {3}{2}}n

Y si los mismos valores se repiten como (independientemente de este último), entonces el número de casos en que las diferencias se encuentran, respectivamente, en cualquier intervalo con longitudes satisface la desigualdad ${v_{1}}^{*},\puntos,{v_{n}}^{*}$ $v_{1},\puntos,v_{n}$ $mi$ $V_{1}-{V_{1}}^{*},\puntos,V_{n}-{V_{n}}^{*}$ ${\displaystyle P^{1-{\frac {1}{n}}},\dots ,P^{n\left({1-{\frac {1}{n}}}\right)))$

E<2e^{r(n)}H^{\frac {n(n-2)}{2}}P^{\frac {3n-1}{2}}

Breve esquema de la prueba

La principal dificultad es probar la estimación de . De él, el límite se deriva trivialmente. $E_1$ $mi$

Sean dos sistemas y , cuyas sumas de potencias pertenecen a los intervalos dados y . Esto en realidad significa que ${\ estilo de visualización (\ eta _ {1}, \ puntos, \ eta _ {n})}$ ${\ estilo de visualización (\ eta _ {1} + \ xi _ {1}, \ puntos, \ eta _ {n} + \ xi _ {n})}$ $yo_{1},\puntos,yo_{n}$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {n}> 0}$

\left\{{\begin{matriz}(\eta _{1}+\xi _{1})-\eta _{1}+\dots +(\eta _{n}+\xi _ {n})-\eta _{n}=\theta _{1}|I_{1}|\\(\eta _{1}+\xi _{1})^{2}-{\eta _ {1}}^{2}+\puntos +(\eta _{n}+\xi _{n})^{2}-{\eta _{n}}^{2}=\theta _{2} }|I_{2}|\\\puntos \\(\eta _{1}+\xi _{1})^{n}-{\eta _{1))^{n}+\puntos +( \eta _{n}+\xi _{n})^{n}-{\eta _{n}}^{n}=\theta _{n}|I_{n}|\end{matriz}} \Correcto.

donde _ Si sustituimos la expresión en todos los términos y expresamos según el método de Cramer mediante fracciones de la forma (revelando explícitamente los determinantes), entonces se seguirá del teorema de Lagrange que satisface, para algunos, la solución del sistema de ecuaciones ${\ estilo de visualización \ eta _ {1}, \ puntos, \ eta _ {n} \ en (-1; 1)}$ $(\eta_{i}+\xi_{i})^{s}-{\eta_{i))^{s}={\frac {(\eta_{i}+\xi _ {i})^{s}-{\eta_{i}}^{s}}{\xi ^{s}}}\xi ^{s}$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {s}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {(\ eta _ {i} + \ xi _ {i}) ^ {s} - {\ eta _ {i}} ^ {s}} {\ xi ^ {s}}}}$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {s}}$ $x_{1}\in (\eta_{1},\eta_{1}+\xi_{1}),\dots,x_{n}\in (\eta_{n},\ eta _{n}+\xi _{n})$

\left\{{\begin{matriz}\xi _{1}+\dots +\xi _{n}=\theta _{1}|I_{1}|\\x_{1}\xi _{1}+\puntos x_{n}\xi_{n}=\theta_{2}|I_{2}|\\\puntos \\{x_{1}}^{n-1}\xi _ {1}+\dots {x_{n}}^{n-1}\xi_{n}=\theta |I_{n}|\end{matriz}}\right.

La matriz de coeficientes de este sistema es la matriz de Vandermonde , y es fácil analizar las soluciones del sistema a partir de la conocida expresión para el determinante de tales matrices.

Esquema de demostración del teorema

El teorema se demuestra en una formulación integral. La demostración se realiza por inducción sobre y en varias etapas: $norte$ $PAGS$

El intervalo se divide en cierto número (dependiendo de) de subintervalos, y la suma trigonométrica múltiple bajo la integral se descompone en un conjunto de tales sumas para cada combinación posible de tales intervalos; ${\ estilo de visualización [1; P]}$ $norte$ $k$
Todos los conjuntos de subintervalos se dividen en dos grupos:
- conjuntos entre los que hay al menos tales que no hay dos de ellos adyacentes y no coinciden; $norte$
- todos los demás conjuntos.
A partir de entonces, el número total de soluciones se limita a la suma del número de soluciones de los conjuntos de cada uno de estos dos conjuntos (multiplicado por la constante 2).
Del primer conjunto de conjuntos, se selecciona uno para el cual el cuadrado del módulo de la suma trigonométrica es máximo. Después de eso, la suma de todos los conjuntos se estima trivialmente multiplicando la suma del mejor conjunto por el número de conjuntos.
A través de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica en el conjunto seleccionado del primer conjunto de variables, son "conducidas" a algún intervalo (es decir, se prueba que si pasan por un cierto intervalo, uno para todos, en lugar de por su cuenta, entonces el número de soluciones no disminuye). Es decir, en esta etapa, el sistema de ecuaciones se reduce a la forma en que las variables pasan por diferentes intervalos espaciados, y las variables pasan por un mismo intervalo. ${\ estilo de visualización 2k-2n}$ $2k$ $2n$ ${\ estilo de visualización 2k-2n}$
El número de soluciones del sistema de ecuaciones resultante se expresa por la suma de los productos del número de representaciones de un número particular
El número de representaciones por la diferencia en las sumas de variables de los mismos intervalos se saca entre paréntesis y se estima mediante el supuesto de inducción (ya que tanto el número de variables como el rango de sus valores son pequeños en comparación con los iniciales) ; ${\ estilo de visualización 2k-2n}$
Después de quitar el factor entre paréntesis, la expresión del número de soluciones de la ecuación se convierte en una expresión del número de soluciones de la desigualdad que limita la diferencia de dos sumas de potencias. El número de soluciones a esta desigualdad se estima a través del lema principal.
Para el segundo conjunto de conjuntos de subintervalos, simplemente se demuestra que hay muy pocos conjuntos de este tipo. Además, todas las variables se reducen nuevamente a un intervalo (pero más corto que ), y esto ya nos permite aplicar la suposición inductiva a la mejor de ellas (en el sentido de la mayor cantidad de soluciones). $PAGS$

Aplicaciones

Históricamente, el teorema se usó por primera vez para resolver el problema de Waring , pero a veces se usa en otras áreas de la teoría de números, por ejemplo, para estimar sumas cortas de Kloosterman [1] .

Notas

↑ M. A. Korolev, Métodos para estimar las sumas cortas de Kloosterman, Chebyshevsky Sb., 2016, volumen 17, número 4, 79-109 . Consultado el 14 de enero de 2018. Archivado desde el original el 10 de marzo de 2018. (indefinido)

Literatura

Vinogradov, Ivan Matveyevich. El método de las sumas trigonométricas en la teoría de números. — M .: Nauka, 1971.
Karatsuba, Anatoly Alekseevich. Fundamentos de la teoría analítica de números. — M .: Nauka, 1983.