Teorema de Kronecker-Weber

El teorema de Kronecker-Weber  es un enunciado de la teoría algebraica de números , según el cual toda extensión abeliana finita del campo de los números racionales , o, en otras palabras, todo campo numérico algebraico , cuyo grupo de Galois es abeliano , es un subcuerpo de algún campo circular , es decir, el campo obtenido al sumar la raíz de la unidad a los números racionales.

Nombrado en honor a Leopold Kronecker y Heinrich Martin Weber , Kronecker llevó a cabo la mayor parte de la prueba en 1853 , en 1886 Weber y Hilbert llenaron algunos de los vacíos lógicos. El teorema se puede demostrar mediante construcciones algebraicas directas, pero también es una simple consecuencia de los resultados de la teoría de campos de clases .

Para una extensión de campo abeliana dada, se puede definir un campo circular mínimo que contenga . Para uno dado, uno puede definir un entero más pequeño que sea un subcampo del campo generado por la raíz de la unidad del grado th. Por ejemplo, para campos cuadráticos, este número es el valor absoluto de su discriminante .

La cuestión de extender el teorema a un campo numérico arbitrario  es uno de los problemas de Hilbert ( 12 ), a partir de 2022 el problema sigue sin resolverse.

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