Teorema de uniformización

El teorema de uniformización es una generalización del teorema de mapeo de Riemann a variedades riemannianas bidimensionales . Podemos decir que el teorema da la mejor métrica en una clase conforme dada.

Redacción

Cualquier superficie de Riemann simplemente conectada es conformemente equivalente a la esfera de Riemann del plano complejo , o el disco unitario abierto . ${\widehat {\mathbb {C} }}$ $\matemáticas {C}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{\,z\in \mathbb {C} :|z|<1\,\))$

Cualquier métrica de Riemann en una variedad bidimensional conectada es conformemente equivalente a una métrica completa con curvatura constante.
- Si la variedad es cerrada, entonces el signo de la curvatura se puede encontrar a partir de su característica de Euler .
  - Si la característica de Euler es positiva, entonces la variedad es conformemente equivalente a una esfera o un plano proyectivo con una métrica canónica.
  - Si la característica de Euler es cero, entonces la variedad es conformemente equivalente a un toro plano o una botella plana de Klein . Además, el toro y la botella de Klein tienen una familia de dos parámetros de métricas planas que no son conformemente equivalentes entre sí.
  - Si la característica de Euler es negativa, entonces la variedad es conformemente equivalente a una superficie hiperbólica.

El teorema de geometrización puede verse como una generalización del teorema de uniformización a 3 variedades.

Abikoff, William. El teorema de uniformización // Amer . Matemáticas. Mensual _ - 1981. - vol. 88 , núm. 8 _ — pág. 574–592 .