Teoría de Galois

La teoría de Galois es una rama del álgebra que permite reformular determinadas cuestiones de la teoría de campos en el lenguaje de la teoría de grupos , haciéndolas en cierto sentido más sencillas.

Évariste Galois formuló los principales enunciados de esta teoría en términos de permutaciones de las raíces de un polinomio dado (con coeficientes racionales ); fue el primero en utilizar el término " grupo " para describir un conjunto de permutaciones que está cerrado bajo composición y contiene la permutación identidad.

Un enfoque más moderno de la teoría de Galois es estudiar los automorfismos de una extensión de un campo arbitrario utilizando el grupo de Galois correspondiente a la extensión dada.

Aplicaciones

La teoría de Galois proporciona un enfoque único y elegante para resolver problemas clásicos como

¿Qué figuras se pueden construir con un compás y una regla ?
¿Qué ecuaciones algebraicas se pueden resolver usando las operaciones algebraicas estándar ( suma , resta , multiplicación , división y extracción de raíz )?

Simetrías de raíces

Las simetrías de raíz son tales permutaciones en el conjunto de raíces de un polinomio para el cual cualquier ecuación algebraica con coeficientes racionales (con varias variables) que es satisfecha por las raíces también es satisfecha por las raíces permutadas.

Ejemplo: ecuación cuadrática

El polinomio de segundo grado tiene dos raíces y , simétrico respecto al punto . Hay dos opciones: $hacha^{2}+bx+c$ $x_{1}$ $x_{2}$ ${\ estilo de visualización x = -b/(2a)}$

Si estas raíces son racionales, entonces solo una raíz satisface la ecuación y el grupo de la ecuación es trivial. $x-x_{1}=0$
Si las raíces son irracionales, entonces el grupo contiene un elemento no trivial y es isomorfo . ${\displaystyle x_{1}\Leftrightarrow x_{2))$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$

Un ejemplo más complejo

Considere ahora el polinomio . ${\ estilo de visualización (x^{2}-5)^{2}-24}$

Sus raíces : $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2} }+{\raíz cuadrada {3)),\ d=-{\raíz cuadrada {2}}-{\raíz cuadrada {3}}$

Hay varias permutaciones de las raíces de esta ecuación, pero no todas son simetrías. Los elementos del grupo de Galois deben conservar cualquier ecuación algebraica con coeficientes racionales. ${\ estilo de visualización 4! = 24}$

Una de estas ecuaciones es . Como , la permutación no está en el grupo de Galois. ${\ estilo de visualización a + d = 0}$ ${\ estilo de visualización a + c \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización a \ a a, \ b \ a b, \ c \ a d, \ d \ a c}$

Además, se puede ver que , pero . Por lo tanto, la permutación no está incluida en el grupo. ${\ estilo de visualización (a + b) ^ {2} = 8}$ ${\ estilo de visualización (a + c) ^ {2} = 12}$ ${\ estilo de visualización a \ a a, \ b \ a c, \ c \ a b, \ d \ a d}$

Finalmente, podemos obtener que el grupo de Galois de un polinomio consta de cuatro permutaciones:

{\ estilo de visualización (a, b, c, d) \ a (a, b, c, d),}

{\ estilo de visualización (a, b, c, d) \ a (c, d, a, b),}

{\ estilo de visualización (a, b, c, d) \ a (b, a, d, c),}

{\ estilo de visualización (a, b, c, d) \ a (d, c, b, a)}

y es un grupo cuádruple de Klein , isomorfo a . $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Formulación en términos de teoría de campos

La teoría de campos da una definición más general del grupo de Galois como el grupo de automorfismos de una extensión arbitraria de Galois .

En este lenguaje, se pueden formular todas las declaraciones relativas a las "simetrías" de las raíces de un polinomio. Es decir, deje que los coeficientes del polinomio dado pertenezcan al campo K. Considere una extensión algebraica L del campo K por las raíces de un polinomio. Entonces el grupo de Galois del polinomio es el grupo de automorfismos del campo L que deja en su sitio a los elementos del campo K , es decir, el grupo de Galois de la extensión . Por ejemplo, en el ejemplo anterior se consideró el grupo Galois de la extensión . $L \ subleva K$ ${\mathbb Q}({\sqrt 2},{\sqrt 3})\supset {\mathbb Q}$

Grupos resolubles y solución de ecuaciones en radicales

Las soluciones de una ecuación polinomial se expresan en radicales si y sólo si el grupo de Galois de la ecuación dada es generalmente solucionable . $P(x)=0$

Para cualquiera existe una ecuación de grado ésimo, cuyo grupo de Galois es isomorfo al grupo simétrico , es decir, consta de todas las permutaciones posibles . Dado que los grupos en no tienen solución, existen polinomios de grado cuyas raíces no se pueden representar mediante radicales , lo cual es un enunciado del teorema de Abel-Ruffini . $norte$ $norte$ $S_{n}$ $S_{n}$ ${\ estilo de visualización n> 4}$ $norte$

Variaciones y generalizaciones

Alexander Grothendieck desarrolló un enfoque más abstracto de la teoría de Galois en 1960. Este enfoque permite aplicar los principales resultados de la teoría de Galois a cualquier categoría que tenga propiedades dadas (por ejemplo, la existencia de coproductos y cuadrados cartesianos ).
- En particular, esto permite trasladar los resultados de la teoría de Galois a la teoría de los revestimientos . Para aplicar esta teoría a la categoría de extensiones de campo, se requiere estudiar las propiedades de los productos tensoriales de campos .

Literatura

Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (ed.) Matemáticas del siglo XIX. — M.: Nauka.

Tomo 1 Lógica matemática. Álgebra. Teoría de los números. Teoría de probabilidad. 1978. (enlace inaccesible)

Teoría de Postnikov M. M. Galois. Copia de archivo fechada el 2 de abril de 2014 en Wayback Machine - M.: Fizmatgiz , 1963.
Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Documentos matemáticos (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France , arXiv: math/0206203 - ISBN 978- 2-85629-141-2
Skopenkov A. B. Algunas pruebas más del Libro: Solvability e insolvability de ecuaciones en radicales.
Lerner L. Galois Teoría sin álgebra abstracta.
Emilio Artín . Teoría de Galois. / por De inglés. A. V. Samokhina. - 2ª ed. estereotipado — M.: MTsNMO, 2008. — 66 p. — (Monografías clásicas: matemáticas). - ISBN 978-5-94057-062-2 .

Enlaces

R. Borcherds , Lista de reproducción "Teoría de Galois" en YouTube

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	BNF : 119587869 J9U : 987007558074605171 LCCN : sh85052872 NDL : 00562218 NKC : ph135380