La teoria de kummer

En la teoría algebraica de números , la teoría de Kummer da una descripción de algunos tipos de extensiones de campo , consistentes en añadir al campo original la raíz de grado n de su elemento. La teoría fue desarrollada por Ernst Eduard Kummer alrededor de 1840 en su trabajo sobre el Teorema de Fermat .

Siempre que la característica del campo p sea coprima de n para p > 0, la afirmación principal de la teoría no depende de la naturaleza del campo y, por lo tanto, pertenece al álgebra general.

La teoría de Kummer tiene un análogo para el caso n = p (la teoría de Artin-Schreier). El papel de un grupo (ver más abajo) en este caso lo desempeña el grupo aditivo de un subcampo simple del campo original. $\mu _{n}$ $\mathbb {F} _{p}$

También existe una generalización de esta teoría debida a E. Witt para el caso donde , utilizando los vectores de Witt . $n=p^{s}$ $s>1$

La teoría de Kummer es básica, por ejemplo, en la teoría de campos de clases y en la comprensión de las extensiones abelianas . Ella afirma que dadas suficientes raíces de unidad, las extensiones cíclicas pueden entenderse en términos de extracción de raíces.

Extensiones de Kummer

Una extensión de Kummer es una extensión del campo L/K (es decir, una incrustación del campo K en el campo L ) tal que para algún número entero n > 1 se cumplen las dos condiciones siguientes:

K contiene n raíces enésimas distintas de la unidad (es decir, todas las raíces de la ecuación x n − 1)
L / K contiene un grupo abeliano de Galois de grado n (es decir, n es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los elementos de este grupo).

Por ejemplo, para n = 2, la primera condición siempre es verdadera si la característica K ≠ 2. Las extensiones de Kummer en este caso incluyen extensiones cuadráticas L = K (√ a ), donde a en K no es un cuadrado. Al resolver ecuaciones cuadráticas, cualquier extensión de K de grado 2 tiene esta forma. La extensión de Kummer incluye en este caso también extensiones bicuadráticas y, más generalmente, extensiones multicuadráticas . Con la característica K igual a 2, no existen tales extensiones de Kummer.

Para n = 3, no hay extensiones de Kummer de grado 3 en el campo de números racionales Q , porque se necesitan tres raíces cúbicas de 1, por lo que se necesitan números complejos . Si L es un cuerpo divisorio de X 3 − a sobre Q , donde a no es el cubo de un número racional, entonces L contiene un subcuerpo K con tres raíces cúbicas de 1. Esto último se sigue del hecho de que si α y β son raíces de un polinomio cúbico, debemos obtener (α/β) 3 =1, que es un polinomio separable . Por lo tanto, L/K es una extensión de Kummer.

Más generalmente, si K contiene n raíces enésimas distintas de la unidad y la característica de K no divide a n , agregar a K la raíz enésima de cualquier elemento a de K forma una extensión de Kummer (de la potencia m que divide a n ).

Como campo de descomposición del polinomio X n − a , la extensión de Kummer es necesaria en la extensión de Galois del grupo cíclico de Galois de orden m .

La teoría de Kummer

La teoría de Kummer establece que dada una raíz primitiva de grado n en K , cualquier extensión cíclica de K de grado n se forma sumando una raíz de grado n .

Si K × es un grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de K , entonces las extensiones cíclicas de K de grado n corresponden a subgrupos únicamente cíclicos

K^{\times}/(K^{\times})^{n},

es decir, elementos de K × módulo n-ésimas potencias.

La correspondencia se puede escribir de la siguiente manera: sea un subgrupo cíclico

\Delta \subseteq K^{\times}/(K^{\times})^{n},

la extensión correspondiente viene dada por la fórmula

K(\Delta^{1/n}),

es decir, uniendo las raíces enésimas de los elementos Δ a K.

Por el contrario, si L es una extensión de Kummer para K , entonces Δ viene dado por

{\displaystyle\Delta =K^{\times}\cap (L^{\times})^{n}.}

En este caso hay un isomorfismo

\Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n}),

dado por la formula

a\mapsto {\biggl (}\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}{\biggr )},

donde α es cualquier raíz enésima de a en L .

Generalizaciones

Hay una ligera generalización de la teoría de Kummer a extensiones abelianas del grupo de Galois de grado n , y una declaración similar es cierta en este contexto. Es decir, se puede probar que tales extensiones son un mapeo de un solo valor en subgrupos

K^{\veces}/(K^{\veces})^{n}.

Si el campo básico K no contiene raíces n - ésimas de la unidad , a veces se usa un isomorfismo

K^{\times}/(K^{\times})^{n}{\stackrel {\sim}{\rightarrow}}H^{1}(G_{K},\mu _{n }).

Véase también

campo cuadrático

Enlaces

Bryan Birch, "Campos ciclotómicos y extensiones de Kummer", en JWS Cassels y A. Frohlich (edd), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Cap.III, pp.85-93.
Leng S., Álgebra, trad. del inglés, M., 1068;
Teoría algebraica de números, trad. del inglés, M., 1969;
Takahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20, nº 1-2, pág. 365