Teoría de Einstein-Cartan

La teoría de Einstein - Cartan (EC) fue desarrollada como una extensión de la teoría general de la relatividad , incluyendo internamente una descripción del impacto en el espacio-tiempo, además de la energía-momento , también el espín de los campos materiales [1] . En la teoría EC , se introduce la torsión afín y, en lugar de la geometría pseudo-riemanniana para el espacio-tiempo, se utiliza la geometría de Riemann-Cartan . Como resultado, pasan de la teoría métrica a la teoría afín del espacio-tiempo. Las ecuaciones resultantes para describir el espacio-tiempo se dividen en dos clases. Uno de ellos es similar a la relatividad general, con la diferencia de que el tensor de curvatura incluye componentes con torsión afín. La segunda clase de ecuaciones define la relación entre el tensor de torsión y el tensor de espín de la materia y la radiación. Las correcciones resultantes a la teoría general de la relatividad en las condiciones del Universo moderno son tan pequeñas que aún no son visibles formas hipotéticas de medirlas.

El estado de la teoría y sus ecuaciones básicas

La teoría de Cartan se distingue de las teorías alternativas de la gravedad , tanto porque no es métrica como porque es muy antigua. El estado de la teoría de Cartan no está claro. Will (1986) argumenta que todas las teorías no métricas contradicen el Principio de Equivalencia de Einstein (EPE) y, por lo tanto, deben descartarse. En un artículo posterior, Will (2001) suaviza esta afirmación al aclarar los criterios experimentales para probar teorías no métricas para la satisfacción de EPE. Mizner, Thorn y Wheeler (1973) argumentan que la teoría de Cartan es la única teoría no métrica que pasa todas las pruebas experimentales, y Turyshev (2007) menciona que esta teoría satisface todas las restricciones experimentales actuales.

Cartan (1922, 1923) propuso una generalización simple de la teoría de la gravedad de Einstein al introducir un modelo de espacio-tiempo con un tensor métrico y una conexión lineal asociada con la métrica, pero no necesariamente simétrica. La parte antisimétrica de la conexión, el tensor de torsión, se asocia en esta teoría con la densidad del momento angular interno ( espín ) de la materia. Independientemente de Cartan, Siama , Kibble y Hale desarrollaron ideas similares entre 1958 y 1966.

Inicialmente, la teoría se desarrolló en el formalismo de formas diferenciales , pero aquí se presentará en lenguaje tensorial. La densidad de gravedad lagrangiana en esta teoría coincide formalmente con la de la relatividad general y es igual al escalar de curvatura:

L={1 \sobre 16\pi G}R(\Gamma ,g)\;,

sin embargo, la introducción de la torsión modifica la conexión, que ya no es igual a los símbolos de Christoffel , sino que es igual a su suma con el tensor de contorsión

\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\mu }=\left\{{^({\ \mu \ }}_{{\;\nu \lambda \;}}}\right\}+ K_{{\nu \lambda}}^{\mu}\;,

K_{{\mu \nu \lambda ))=Q_({\mu \nu \lambda ))+Q_({\lambda \nu \mu ))+Q_({\nu \lambda \mu )),\qquad Q_{{\mu \nu \lambda }}={\frac 12}(\Gamma _({\mu \nu \lambda }}-\Gamma _({\mu \lambda \nu }})\;,

donde es la parte antisimétrica de la conexión lineal - torsión . Se supone que la conexión lineal es métrica , lo que reduce el número de grados de libertad inherentes a las teorías no métricas. Las ecuaciones de movimiento de esta teoría incluyen 10 ecuaciones para el tensor de energía-momento, 24 ecuaciones para el tensor de espín canónico y ecuaciones de movimiento para campos materiales no gravitacionales [1] : $Q_{{\mu\nu\lambda}}\;$

R_{{\mu \nu }}-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}R+4{B^{{[\alpha }}}_({\beta \mu }}{B^ {{\beta ]}}}_{{\alpha \nu }}+2B_({\beta \alpha \mu }}{B_{\nu }}^({\beta \alpha }}-B_{{\ mu \beta \alpha }}{B_{\nu }}^{{\beta \alpha }}-

-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}(4{{B_{{\alpha }}}^{{\beta }}}_{{[\lambda }}{B^{{\alpha \lambda ))}_{{\beta ]}}+B_({\alpha \beta \gamma }}B^({\alpha \beta \gamma }})=\kappa T_{{\mu \nu }} \;,

{Q^{\lambda }}_{{\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\ lambda }Q_{\mu }=\kappa {s^{\lambda }}_{{\mu \nu }}\;,

{\frac {\parcial L}{\parcial \phi _{A))}+(\nabla _{\lambda }-2Q_{\lambda}){\frac {\parcial L}{\parcial \nabla_{ \lambda }\phi _{A}}}=0\;,

donde es el tensor métrico de energía-momento de la materia, es el tensor de espín canónico y es la traza del tensor de torsión. $T_{{\mu \nu }}={\frac \delta {\delta g^{{\mu \nu }}}}({\sqrt {-g}}L_{m})\;$ $s_{{\mu \nu }}^{\lambda }={\frac {\delta L_{m}}{\delta Q_{\lambda }^{{\mu \nu }}}}\;$ ${B^{\lambda }}_{{\mu \nu }}={Q^{\lambda }}_({\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda } Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }\;$ $Q_{\mu }={Q^{\lambda }}_{{\mu \lambda }}\;$

La curvatura del espacio-tiempo en este caso no es riemanniana, pero en el espacio-tiempo riemanniano el lagrangiano se reduce al lagrangiano de la relatividad general. Los efectos de la no metricidad en esta teoría son tan pequeños que pueden despreciarse incluso en estrellas de neutrones . La única región de fuerte divergencia parece ser quizás el universo muy primitivo. Una característica atractiva de esta teoría (y sus modificaciones) es la posibilidad de obtener soluciones de " rebote " no singulares para el Big Bang (ver Minkevich et al. (1980)).

Notas

↑ 1 2 Ivanenko D. D. , Pronin P. I., Sardanashvili G. A. Teoría de calibre de la gravedad. — M.: Ed. Universidad Estatal de Moscú, 1985.

Véase también

teorías de la gravedad

Teorías estándar de la gravedad

Teorías alternativas de la gravedad

Teorías cuánticas de la gravedad

Teorías del campo unificado

física clásica

La teoría de la gravedad de Newton

física relativista

Teoría general de la relatividad
- Formulación matemática
- formulación hamiltoniana

Principios

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Relativista

Multidimensional

Instrumentos de cuerda

Otro

La teoría del todo excepcionalmente simple