Triangulo de sharygin

El triángulo de Sharygin es un triángulo que no es isósceles , cuyas bases de las bisectrices forman un triángulo isósceles [1] .

Fue considerado por primera vez por Igor Fedorovich Sharygin en 1982 en el libro Problems in Geometry. Planimetría” [2] [3] .

Los triángulos de Sharygin son de interés, ya que existen, a diferencia de triángulos similares, en cuya definición, por ejemplo, se utilizan medianas o alturas en lugar de bisectrices [4] .

Existencia de los triángulos de Sharygin

Para cualquier ángulo tal que , existe, hasta la semejanza , exactamente un triángulo de Sharygin con uno de los ángulos igual a , y para cualquier triángulo de Sharygin, el coseno de uno de sus ángulos se encuentra en el intervalo indicado . $\alfa$ $-{\frac {1}{4}}<\cos(\alpha )<{\frac {{\sqrt {17}}-5}{4}}$ $\alfa$

El ángulo mismo en grados satisface la doble desigualdad aproximada [1] [3] . $\alfa$ $102{,}663^{\circ }\lesssim \alpha \lesssim 104{,}478^{\circ }$

Prueba

Sea el triángulo de Sharygin, , y sus lados (ver figura), , y sus bisectrices, y . ${\ estilo de visualización \ vartriangle ABC}$ $a$ $b$ $C$ $AA_{1}$ $BB_{1}$ $CC_{1}$ ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1))$

Supongamos que es la bisectriz perpendicular al segmento . Entonces los ángulos y son iguales, y los ángulos y también son iguales, ya que la recta es la bisectriz del ángulo , por tanto, según el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo para triángulos , los ángulos y son iguales, lo cual significa que los ángulos y también son iguales , de lo que se deduce que el triángulo es isósceles, entonces no es un triángulo de Sharygin por definición. $AA_{1}$ ${\ estilo de visualización B_{1}C_{1}}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo AIB}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo AIC}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo IAC}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo IAB}$ ${\ estilo de visualización IA}$ ${\ estilo de visualización \ taxi de ángulo}$ $\vartriangle ACI$ $\vartriangle ABI$ ${\ estilo de visualización \ ángulo ACI}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo ABI}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo ACB = 2 \ ángulo ACI}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo ABC = 2 \ ángulo ABI}$ ${\ estilo de visualización \ vartriangle ABC}$

Entonces, no es una bisectriz perpendicular al segmento . Entonces el punto es la intersección de la bisectriz del ángulo y la bisectriz perpendicular al segmento , que se encuentra en el círculo circunscrito del triángulo por una consecuencia del teorema del ángulo inscrito . Entonces el cuadrilátero se inscribe , por lo tanto, , lo que significa que la suma de los ángulos y , como adyacentes a los ángulos y , respectivamente, también es igual a . $AA_{1}$ ${\ estilo de visualización B_{1}C_{1}}$ $A_{1}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo B_{1}AC_{1}}$ ${\ estilo de visualización B_{1}C_{1}}$ $\vartriangle AB_{1}C_{1}$ ${\displaystyle AB_{1}A_{1}C_{1))$ $\ángulo AB_{1}A_{1}+\ángulo AC_{1}A_{1}=180^{\circ }$ ${\ estilo de visualización \ ángulo CB_{1}A_{1))$ ${\ estilo de visualización \ ángulo BC_{1}A_{1))$ ${\ estilo de visualización \ ángulo AB_ {1} A_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo AC_{1}A_{1))$ $180^{\círculo}$

Adjuntemos triángulos entre sí y en lados iguales y respectivamente. Obtenemos un triángulo semejante a un triángulo según el primer signo de la semejanza de triángulos . Es fácil ver que sus lados serán iguales y . Luego, de la similitud obtenemos lo que se puede reescribir en la forma ${\displaystyle \vartriangle CA_{1}B_{1))$ $\vartriangle BA_{1}C_{1}$ ${\ estilo de visualización A_ {1} B_ {1}}$ ${\ estilo de visualización A_ {1} C_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ vartriangle ABC}$ ${\frac{ac}{b+c}}$ ${\frac {ab}{b+c}}$ ${\frac{ac}{a+b}}+{\frac{ab}{a+c}}$ ${\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}={\frac {{\frac {ac}{a+b}}+{\frac { ab}{a+c}}}{a}}={\frac {CB_{1}+C_{1}B}{CB}}={\frac {CA_{1}+A_{1}B}{ CA+AB}}={\frac{a}{b+c}},$ $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0.$

Denote el coseno del ángulo por . Entonces, según el teorema del coseno , y por lo tanto, se cumplirá la igualdad , que, teniendo en cuenta la desigualdad del triángulo, da restricciones $\ángulo BAC$ $X$ $b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx$ $bc(2x(a+b+c)+a)=2bcx(a+b+c)+abc=$ ${\ estilo de visualización (b^{2}+c^{2}-a^{2})(a+b+c)+abc=}$ $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0,$ ${\ estilo de visualización 2x (a + b + c) + a = 0}$ ${\ estilo de visualización 0 <a <b + c}$ $-{\frac{1}{4}}<x<0.$

$2x(a+b+c)+a=0\Rightarrow a=-{\frac {2x(b+c)}{2x+1)).$ Sustituyendo este valor en la igualdad y dividiéndolo por , obtenemos una ecuación cuadrática para el primer y tercer término menor que cero, lo que significa que el término medio debe ser mayor que cero. , por lo tanto, . La ecuación resultante tiene soluciones si y solo si su discriminante es igual a al menos cero, y solo una de estas soluciones será positiva. El caso en que el discriminante sea igual a cero no satisface la condición , por lo que se requiere su estricta positividad. $b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx$ $c^{2}$ ${\frac {b}{c}}:$
$(4x+1){\Grande (}{\frac {b}{c}}{\Grande)}^{2}-(8x^{3}+16x^{2}+2x){\ Grande (}{\frac {b}{c}}{\Grande)}+(4x+1).$ ${\frac{b}{c}}>0$ $8x^{3}+16x^{2}+2x>0$ ${\frac {1}{4}}((8x^{3}+16x^{2}+2x)^{2}-(4x+1)^{2})=$ ${\frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1),$ ${\ estilo de visualización b \ neq c}$

Por lo tanto, el triángulo de Sharygin c existe si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: además, para uno dado, siempre es único. Estas tres condiciones son equivalentes a las restricciones ${\ estilo de visualización \ cos (\ ángulo BAC) = x}$ $-{\frac {1}{4}}<x<0,$ $8x^{3}+16x^{2}+2x>0,$ ${\frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1)>0,$ $X$ $-{\frac {1}{4}}<x<{\frac {{\sqrt {17}}-5}{4}}.$

Cubo de Sharygin

El cubo de Sharygin se llama el cubo obtenido en la prueba anterior (que tiene una notación más simple, pero que no satisface la definición formal de un cubo: ), que establece una condición necesaria y suficiente para que un triángulo con lados sea un triángulo de Sharygin con lados iguales (ver figura). $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0$ ${\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}={\frac {a}{b+c}}$ $a B C$ ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1))$

Ejemplos específicos

En polígonos regulares

En el momento de 2017, solo se conoce un ejemplo del triángulo de Sharygin, cuyos vértices pueden ser algunos vértices de un polígono regular [4] . En este ejemplo, los vértices del triángulo son el primer, segundo y cuarto vértices de un heptágono regular [1] .

Prueba

Sean los vértices de un -ágono regular , y sea nuestro triángulo, cuyos vértices son también los vértices de un -ágono regular . Denotemos los vértices del triángulo formado por las bases de las bisectrices ( ver figura). Probemos eso . ${\displaystyle U_{0},U_{1},\puntos,U_{13))$ $catorce$ ${\displaystyle \vartriangle U_{0}U_{2}U_{6))$ $7$ ${\displaystyle U_{0},U_{2},\puntos,U_{12))$ ${\displaystyle \vartriangle U_{0}U_{2}U_{6))$ $A B C$ ${\ estilo de visualización BC = BA}$

Por la propiedad de la bisectriz de un ángulo inscrito , las bisectrices pasan por los puntos, respectivamente. El punto se encuentra sobre las diagonales del tetradecágono y , que son simétricas con respecto a la diagonal , por lo tanto, el punto también se encuentra sobre la diagonal . Denote la intersección de las diagonales y por . El punto es la intersección de las diagonales y , y las diagonales y son simétricas entre sí con respecto a la diagonal , y la diagonal es simétrica consigo misma con respecto a la misma diagonal. Por lo tanto, los puntos y son simétricos entre sí con respecto a la diagonal . Como ya sabemos, el punto se encuentra en esta diagonal, por lo tanto, los segmentos y son simétricos con respecto a él, es decir, son iguales. $U_{0}A,\;U_{2}B,\;U_{6}C$ ${\ estilo de visualización U_{4},U_{10},U_{1))$ $B$ $U_{0}U_{6}$ $U_{2}U_{10}$ $U_{1}U_{8}$ $B$ $U_{1}U_{8}$ $U_{0}U_{2}$ $U_{1}U_{10}$ $C_{1}$ $C$ $U_{0}U_{2}$ $U_{1}U_{6}$ $U_{1}U_{6}$ $U_{1}U_{10}$ $U_{1}U_{8}$ $U_{0}U_{2}$ $C$ $C_{1}$ $U_{1}U_{8}$ $B$ $antes de Cristo$ $BC_{1}$

Probemos ahora eso . Recta y simétrica con respecto a . Los ángulos y se basan en arcos iguales, lo que significa que son iguales por el corolario del teorema del ángulo inscrito . Por lo tanto, las líneas y también son simétricas con respecto a . Por lo tanto, los puntos y son simétricos con respecto a las intersecciones de las líneas c y c, respectivamente. En este caso, el punto se encuentra en el segmento . Por tanto, los segmentos y son simétricos con respecto a , es decir, y son iguales. $BC_{1}=BA$ $U_{2}U_{6}$ ${\ estilo de visualización U_{2}U_{0))$ $U_{2}U_{10}$ $\ángulo U_{10}U_{1}U_{2}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo U_{10}U_{3}U_{2}}$ $U_{10}U_{1}$ ${\ Displaystyle U_{10}U_{3))$ $U_{2}U_{10}$ $A$ $C_{1}$ $U_{2}U_{10}$ $U_{2}U_{6}$ ${\ Displaystyle U_{10}U_{3))$ ${\ estilo de visualización U_{2}U_{0))$ $U_{10}U_{1}$ $B$ $U_{2}U_{10}$ $licenciado en Letras$ $BC_{1}$ $U_{2}U_{10}$

Entonces, y , lo que significa, es decir, un triángulo isósceles. $BC=BC_{1}$ $BC_{1}=BA$ ${\ estilo de visualización BC = BA}$ $A B C$

Con longitudes de lado enteras

Existe una infinidad de triángulos enteros de Sharygin diferentes , lo que se demostró mediante la teoría de las curvas elípticas [4] (en concreto, se consideró la curva elíptica definida por el cubo de Sharygin). Un ejemplo en el que uno de los lados es el más pequeño posible tiene el siguiente conjunto de lados [1]

1\,481\,089,\qquad 18\,800\,081,\qquad 19\,214\,131.

La minimalidad de este ejemplo se verificó mediante una búsqueda exhaustiva [4] .

Variaciones

Se consideran también triángulos semejantes, en los que el triángulo isósceles no es el formado por las bases de las bisectrices de los ángulos internos, sino el triángulo formado por una base de la bisectriz del ángulo interno y dos bases de las bisectrices externas al otros dos ángulos. [5]

Notas

↑ 1 2 3 4 Igor Netai, Alexey Savvateev "Triángulos de Sharygin y curvas elípticas" . Consultado el 7 de julio de 2020. Archivado desde el original el 9 de julio de 2020. (indefinido)
↑ Artículo de I.F. Sharygin "Alrededor de la bisectriz" en la revista Kvant . Consultado el 7 de julio de 2020. Archivado desde el original el 28 de junio de 2020. (indefinido)
↑ 1 2 IF Sharygin "Problemas de geometría. Planimetría" p.157 . Consultado el 7 de julio de 2020. Archivado desde el original el 28 de junio de 2020. (indefinido)
↑ 1 2 3 4 Conferencia de Igor Netay en youtube . Consultado el 7 de julio de 2020. Archivado desde el original el 31 de julio de 2020. (indefinido)
↑ Artículo en el sitio web de Oliver Nash . Consultado el 7 de julio de 2020. Archivado desde el original el 8 de julio de 2020. (indefinido)

Literatura

Igor Netai, Alexey Savvateev "Triángulos de Sharygin y curvas elípticas"

Enlaces

Conferencia de Igor Netay en youtube