Triángulo de Schwartz

El triángulo de Schwartz es un triángulo esférico que se puede usar para teselar una esfera , posiblemente superpuesta, al reflejar el triángulo alrededor de sus lados. Los triángulos se clasifican en un trabajo de 1873 del matemático alemán Karl Schwartz [1] .

Los triángulos de Schwartz se pueden definir de manera más general como mosaicos en un plano esférico, euclidiano o hiperbólico. Cada triángulo de Schwartz en la esfera define un grupo finito , mientras que en el plano euclidiano definen grupos infinitos.

El triángulo de Schwartz está representado por tres números racionales ( p q r ), cada uno de los cuales define un ángulo en el vértice. El valor n/d significa que el ángulo en el vértice del triángulo es igual a d / n del ángulo recto. 2 significa triángulo rectángulo. Si estos números son enteros, el triángulo se llama triángulo de Möbius y corresponde a un mosaico sin superposiciones, y el grupo de simetría se llama grupo de triángulos . Hay 3 triángulos de Möbius en la esfera y una familia más de un parámetro. Hay tres triángulos de Möbius en el plano, y en el espacio hiperbólico hay una familia de triángulos de Möbius con tres parámetros y sin objetos excepcionales .

Espacio de soluciones

Un área fundamental en forma de triángulo ( p q r ) puede existir en diferentes espacios, dependiendo de la suma de los recíprocos de estos números enteros:

Esfera plano euclidiano plano hiperbólico

En pocas palabras, la suma de los ángulos de un triángulo en el plano euclidiano es π, mientras que en la esfera la suma de los ángulos es mayor que π y en el plano hiperbólico la suma es menor que π.

Representación gráfica

El triángulo de Schwartz se representa gráficamente como un gráfico triangular . Cada vértice corresponde a un lado (espejo) del triángulo de Schwartz. Cada borde está etiquetado con un valor racional correspondiente al orden de reflexión, que es igual a π/ ángulo exterior .


Triángulo de Schwarz ( p q r ) en esfera
Gráfico de triángulo de Schwarz

Los bordes con orden 2 representan espejos perpendiculares, que se pueden omitir en este diagrama. El diagrama de Coxeter-Dynkin representa estos gráficos triangulares sin bordes de orden 2.

Se puede usar el grupo de Coxeter para una notación más simple, como ( p q r ) para gráficos cíclicos, ( p q 2) = [ p , q ] para triángulos rectángulos) y ( p 2 2) = [ p ]×[].

Lista de triángulos de Schwartz

Triángulos de Möbius en la esfera


(2 2 2) o [2,2]
(3 2 2) o [3,2] 		...

(3 3 2) o [3,3]
(4 3 2) o [4,3]
(5 3 2) o [5,3]

Los triángulos de Schwarz con números enteros, también llamados triángulos de Möbius , incluyen la familia de un parámetro y tres casos excepcionales :

  1. [ p ,2] o ( p 2 2) - simetría diédrica ,CDel nodo.pngCDel p.pngCDel nodo.pngCDel 2.pngCDel nodo.png
  2. [3,3] o (3 3 2) – simetría tetraédrica ,CDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png
  3. [4,3] o (4 3 2) – Simetría octaédrica ,CDel nodo.pngCDel 4.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png
  4. [5,3] o (5 3 2) - Simetría icosaédrica ,CDel nodo.pngCDel 5.pngCDel nodo.pngCDel 3.pngCDel nodo.png

Triángulos de Schwartz sobre una esfera, agrupados por densidad

Triángulos de Schwartz ( p q r ), agrupados por densidad :

Densidad Triángulo de Schwartz
una (2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n )
d ( 22n / día )
2 (3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3 (2 3/2 3), (2 5/2 5)
cuatro (3 4/3 4), (3 5/3 5)
5 (2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6 (3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7 (2 3 4/3), (2 3 5/2)
ocho (3/2 5/2 5)
9 (2 5/3 5)
diez (3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
once (2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13 (2 3 5/3)
catorce (3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
dieciséis (3 5/4 5/2)
17 (2 3/2 5/2)
Dieciocho (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19 (2 3 5/4)
21 (2 5/4 5/2)
22 (3/2 3/2 5/2)
23 (2 3/2 5/3)
26 (3/2 5/3 5/3)
27 (2 5/4 5/3)
29 (2 3/2 5/4)
32 (3/2 5/45/3)
34 (3/2 3/2 5/4)
38 (3/2 5/4 5/4)
42 (5/4 5/4 5/4)

Triángulos en el plano euclidiano


(3 3 3)
(4 4 2)
(6 3 2)

Densidad 1:

  1. (3 3 3) - 60-60-60 ( equilátero )
  2. (4 4 2) - 45-45-90 (isósceles rectangular)
  3. (6 3 2) - 30-60-90
  4. (2 2 ∞) - 90-90-0 "triángulo"

Densidad 2:

  1. (6 6 3/2) - 120-30-30 triángulo

Densidad ∞:

  1. (4 4/3∞)
  2. (3 3/2∞)
  3. (6 6/5∞)

Triángulos en el plano hiperbólico


(7 3 2)
(8 3 2)
(5 4 2)

(4 3 3)
(4 4 3)
(∞∞∞)
Áreas fundamentales de triángulos ( p q r )

Densidad 1:

Densidad 2:

Densidad 3:

Densidad 4:

Densidad 6:

Densidad 10:

El triángulo de Schwartz (2 3 7) es el triángulo de Schwartz hiperbólico más pequeño y es de particular interés. Su grupo de triángulos (o, más precisamente, el grupo de von Dyck de isometrías que conservan la orientación con índice 2) es el grupo de triángulos (2,3,7) , que es el grupo universal para todos los grupos de Hurwitz — los grupos de isometría máxima de las superficies de Riemann . Todos los grupos de Hurwitz son grupos de factores del grupo de triángulos (2,3,7) y todas las superficies de Hurwitz están cubiertas por mosaicos de triángulos de Schwartz (2,3,7). El grupo de Hurwitz más pequeño es un grupo simple de orden 168, el segundo grupo simple no abeliano más pequeño , que es isomorfo a PSL(2,7) y asociado con una superficie de Hurwitz de género 3, es el cuartico de Klein .

El triángulo (2 3 8) forma un mosaico en la superficie de Boltz , una superficie altamente simétrica (pero no de Hurwitz) de género 2.

Los triángulos con un ángulo no entero enumerados anteriormente fueron clasificados por primera vez por Anthony W. Knapp en un  artículo de 1968 [2] . En un artículo de 1998 de Klimenko y Sakum [3] se proporciona una lista de triángulos con múltiples ángulos no enteros .

Véase también

Notas

  1. ↑ Schwarz, 1873 .
  2. ↑ Knapp, 1968 , pág. 289-304.
  3. ↑ Klimenko, Sakuma, 1998 , pág. 247-282.

Literatura

Enlaces