Grupo triangular

En matemáticas , el grupo de un triángulo  es un grupo que puede representarse geométricamente mediante reflexiones sucesivas sobre los lados de un triángulo . Un triángulo puede ser un triángulo euclidiano ordinario , un triángulo sobre una esfera o un triángulo hiperbólico . Cualquier grupo de triángulos es el grupo de simetría de un parquet de triángulos congruentes en un espacio bidimensional , en una esfera , o en el plano de Lobachevsky (ver también el artículo sobre el plano hiperbólico ).

Definición

Sean l , m , n números enteros mayores o iguales a 2.  El grupo triangular Δ( l , m , n ) es el grupo de movimientos del espacio euclidiano, una esfera bidimensional, un plano proyectivo real o un plano hiperbólico generado por reflexiones sobre los lados de un triángulo con ángulos π/ l , π/ m y π/ n (medido en radianes ). El producto de las reflexiones con respecto a dos lados adyacentes es una rotación de un ángulo igual al doble del ángulo entre esos lados, 2π/ l , 2π/ m y 2π/ n . Así, si las reflexiones se denotan con las letras a , b y c , y los ángulos entre los lados en orden cíclico, como se indicó anteriormente, se cumplen las siguientes relaciones:

Existe un teorema de que todas las demás relaciones entre a, b, c son consecuencias de estas relaciones y que Δ( l, m, n ) es el grupo discreto de movimientos del espacio correspondiente. Este grupo de triángulos es un grupo de reflexión que se puede especificar

El grupo abstracto con esta tarea es un grupo Coxeter con tres generadores.

Clasificación

Dados números naturales cualesquiera l , m , n > 1, exactamente una de las geometrías bidimensionales clásicas (euclidiana, esférica o hiperbólica) admite un triángulo con ángulos (π/l, π/m, π/n) y el espacio es embaldosado por reflejos de este triángulo. La suma de los ángulos de un triángulo determina el tipo de geometría según la fórmula de Gauss-Bonnet : un espacio es euclidiano si la suma de los ángulos es exactamente igual a π, esférico si excede π e hiperbólico si es estrictamente menor que π . Además, dos triángulos cualesquiera con ángulos dados son congruentes. Cada grupo de triángulos define un mosaico, que generalmente tiene dos colores, de modo que dos mosaicos adyacentes tienen colores diferentes.

En términos de los números l , m , n > 1, existen las siguientes posibilidades.

plano euclidiano

El grupo de triángulos es el grupo de simetría infinita de algún parquet (o mosaico) del plano euclidiano por triángulos cuyos ángulos suman π (o 180°). Salvo permutaciones, el triple ( l , m , n ) es uno de los triples (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Los grupos correspondientes de triángulos son representantes del grupo de patrones de papel tapiz .

(2,3,6) (2,4,4) (3,3,3)
Parqué hexagonal partido Parquet cuadrado "Tetrakis" Parqué triangular
Gráficos más detallados con vértices etiquetados. Muestra cómo funcionan los reflejos.

Esfera

El grupo de triángulos es el grupo de simetría finita del parquet en la esfera unitaria de los triángulos esféricos, o triángulos de Möbius , cuya suma de los ángulos suman un número mayor que π. Hasta una permutación, los triples ( l , m , n ) tienen la forma (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) o (2,2, n ), n > 1. Los grupos esféricos de triángulos se pueden comparar con los grupos de simetría de poliedros regulares en el espacio euclidiano tridimensional: Δ(2,3,3) corresponde a un tetraedro , Δ(2,3,4) corresponde a un cubo y un octaedro (tienen el mismo grupo de simetría), Δ(2,3,5) corresponde tanto al dodecaedro como al icosaedro . Los grupos Δ(2,2, n ), n > 1, de simetría diédrica pueden considerarse como los grupos de simetría de la familia de diedros , que están formados por dos n - gons regulares idénticos conectados entre sí, o, dualmente, por un osoedro , que está formado por la unión de n digons .

Un parquet esférico correspondiente a un poliedro regular se obtiene por subdivisión baricéntrica del poliedro y proyección de los puntos y líneas resultantes sobre la esfera circunscrita. Hay cuatro caras para un tetraedro, y cada cara es un triángulo equilátero que está dividido en 6 partes más pequeñas por medianas que se cruzan en el centro. El mosaico resultante tiene 4 × 6 = 24 triángulos esféricos (este es un tetraquishexaedro esférico ).

Estos grupos son finitos, lo que corresponde a la compacidad de la esfera: las áreas de los discos en la esfera crecen en términos de radio, pero eventualmente cubren toda la esfera.

Las teselaciones triangulares se dan a continuación:

(2,2,2) (2,2,3) (2,2,4) (2,2,5) (2,2,6) (2,2,n)
(2,3,3) (2,3,4) (2,3,5)

Los parquets esféricos correspondientes al octaedro y al icosaedro, así como los mosaicos esféricos diédricos con n par , son centralmente simétricos . Por lo tanto, cada uno de estos empaques define un parquet del plano proyectivo real, un parquet elíptico . Su grupo de simetría es el grupo cociente del grupo esférico de triángulos por simetría central ( -I ), que es el elemento central de orden 2. Debido a que el plano proyectivo es un modelo de geometría elíptica , tales grupos se denominan grupos de triángulos elípticos [1 ] .

Plano hiperbólico

El grupo de triángulos es el grupo de simetría infinita de un parquet en el plano hiperbólico de triángulos hiperbólicos cuya suma de ángulos es menor que π. Todos los triples no enumerados anteriormente representan parqués en el plano hiperbólico. Por ejemplo, el triple (2,3,7) da el grupo triangular (2,3,7) . Hay infinitos grupos de este tipo. A continuación se muestran los parquets asociados a algunos valores pequeños.

Modelo de Poincaré de triángulos de dominio fundamental
Ejemplos de Triángulos Rectángulos (2 pq)

(2 3 7)
(2 3 8)
(2 3 9)
(2 3∞)

(2 4 5)
(2 4 6)
(2 4 7)
(2 4 8)
(2 4∞)

(2 5 5)
(2 5 6)
(2 5 7)
(2 6 6)
(2∞∞)
Ejemplos generales de triángulos (pqr)

(3 3 4)
(3 3 5)
(3 3 6)
(3 3 7)
(3 3∞)

(3 4 4)
(3 6 6)
(3∞∞)
(6 6 6)
(∞∞∞)

Los grupos de triángulos hiperbólicos son ejemplos de grupos cristalográficos no euclidianos y se generalizan en la teoría de grupos hiperbólicos de Gromov .

Grupos de Von Dyck

Denote por D ( l , m , n ) el subgrupo con índice 2 en Δ(l, m, n) generado por palabras de longitud uniforme en los generadores. Estos subgrupos a veces se denominan grupos de triángulos "ordinarios" [2] o grupos de von Dyck , en honor a Walther von Dyck . Los triángulos esféricos, euclidianos e hiperbólicos corresponden a elementos de un grupo que conserva la orientación de los triángulos. Los triángulos proyectivos (elípticos) no pueden interpretarse de esta manera, ya que el plano proyectivo no tiene orientación y no hay "conservación de orientación" en él. Los reflejos, sin embargo, preservan localmente la orientación (y cualquier variedad es localmente orientable, ya que es localmente euclidiana). [3]

Los grupos D ( l , m , n ) se definen mediante la siguiente tarea:

En términos de generadores, esto es x = ab, y = ca, yx = cb . Geométricamente, los tres elementos x , y , xy corresponden a rotaciones de 2π/ l , 2π/ my 2π/ n alrededor de los tres vértices del triángulo.

Tenga en cuenta que D ( l , m , n ) ≅ D ( m , l , n ) ≅ D ( n , m , l ) de modo que D ( l , m , n ) no depende del orden de los números l , m , norte _

El grupo hiperbólico de von Dyck es un grupo discreto de Fuchsian que consiste en isometrías del plano hiperbólico que conservan la orientación .

Parquet superpuesto

Los grupos de triángulos conservan la colocación de parquet mediante triángulos, es decir, el área de acción fundamental (el triángulo definido por las reflexiones directas) llamado triángulo de Möbius , y vienen dados por una terna de números enteros ( l , m , n ) correspondiente a los triángulos (2 l ,2 m ,2 n ) con una tapa común. También existen parqués formados por triángulos superpuestos que corresponden a triángulos de Schwartz con números racionales ( l / a , m / b , n / c ), donde los denominadores son primos relativos a los numeradores. Esto corresponde a lados en ángulo a π/ l (resp.), lo que corresponde a una rotación de 2 a π/ l (resp.), que tiene orden l y por lo tanto es idéntico a un elemento del grupo abstracto, pero difiere cuando se representan como reflejos.

Por ejemplo, el triángulo de Schwartz (2 3 3) da un parquet de densidad 1 sobre la esfera, mientras que el triángulo (2 3/2 3) da un parquet de densidad 3 sobre la esfera, pero con el mismo grupo abstracto . Estas simetrías de parquet superpuestas no se consideran grupos de triángulos.

Historia

Los grupos de triángulos datan al menos de la presentación de Hamilton del grupo icosaédrico como el grupo de rotación de triángulos (2,3,5) en 1856 en su artículo sobre icosianos [4] .

Aplicaciones

Los grupos de triángulos surgen en la geometría aritmética . El grupo modular generado por dos elementos, S y T , con las relaciones S² = (ST)³ = 1 , es el grupo de rotación del triángulo (2,3,∞) y se asigna a todos los grupos de triángulos (2,3, n ) sumando la relación T n = 1. Más generalmente, el grupo de Hecke H q , generado por dos elementos, S y T , con la relación S 2 = ( ST ) q = 1 (sin relación por separado para T ), es el grupo de rotación del triángulo (2, q , ∞) y se asigna a todos los grupos de triángulos (2, q , n ) sumando la relación T n = 1. El grupo modular es el grupo de Hecke H 3 . En la teoría de los dessins d'enfants , la función de Belyi permite obtener un mosaico de una superficie de Riemann correspondiente a algún grupo de triángulos.

Los 26 grupos esporádicos son grupos de factores de grupos triangulares [6] , de los cuales 12 son grupos de Hurwitz (el grupo de factores del grupo (2,3,7)).

Véase también

Notas

  1. ↑ ( Magnus 1974 )
  2. ↑ Gross y Tucker, 2001 .
  3. ↑ ( Magnus 1974 , pág. 65)
  4. ↑ Hamilton, 1856 .
  5. ↑ Teselaciones platónicas de las superficies de Riemann: The Modular Group. Archivado el 28 de octubre de 2009 en Wayback Machine . Gerard Westendorp . Archivado el 10 de marzo de 2011 en Wayback Machine .
  6. ↑ ( Wilson 2001 , Tabla 2, pág. 7)

Literatura

Enlaces