Número trigonométrico

En matemáticas , un número trigonométrico ( ing.  trigonometric number ) [1]  es un número irracional obtenido como el seno o coseno de un número racional de revoluciones o, de manera equivalente, el seno o coseno de un ángulo cuyo valor en radianes es un múltiplo racional de pi , o el seno o coseno de un número racional de grados .

Un número real distinto de 0, 1, −1 es un número trigonométrico si y solo si es la parte real de la raíz de la unidad .

Las demostraciones de los teoremas sobre estos números fueron dadas por el matemático canadiense-estadounidense Ivan Niven [1] , posteriormente sus demostraciones fueron mejoradas y simplificadas por Li Zhou y Lubomir Markov [2] .

Cualquier número trigonométrico se puede expresar en términos de radicales . Por tanto, todo número trigonométrico es un número algebraico . La última afirmación se puede demostrar [1] , tomando como base la fórmula de Moivre para el caso de coprimos k y n:

Extendiendo el lado izquierdo e igualando las partes reales da la ecuación y sustituyendo , obtenemos una ecuación polinomial que tiene su propia solución, por lo que este último es, por definición, un número algebraico. También es un número algebraico porque es igual a un número algebraico Finalmente, donde es un racional, múltiplo de , es un número algebraico, que se puede obtener igualando las partes imaginarias de los dos lados de la expansión de la ecuación de De Moivre a entre sí y dividiendo por para obtener una ecuación polinomial en

Notas

1. ↑ 1 2 3 Niven, Iván. Números irracionales , Monografías matemáticas de Carus no. 11, 1956.
2. ↑ Li Zhou y Lubomir Markov. Pruebas recurrentes de la irracionalidad de ciertos valores trigonométricos  (inglés)  // American Mathematical Monthly  : revista. - 2010. - Vol. 117 . - P. 360-362 . doi : 10.4169 / 000298910x480838 . https://arxiv.org/abs/0911.1933 Archivado el 7 de febrero de 2019 en Wayback Machine .