Niveles Landau

Niveles Landau

Lleva el nombre de	Lev Davidovich Landau
Estado	URSS
Descubridor o Inventor	Lev Davidovich Landau
fecha de apertura	1930
Fórmula que describe una ley o un teorema	$E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega_{c}\left(n+{ \frac{1}{2}}\right),\qquad$

Los niveles de Landau son los niveles de energía de una partícula cargada en un campo magnético . Obtenida por primera vez como solución a la ecuación de Schrödinger para un electrón en un campo magnético por L. D. Landau en 1930 . La solución a este problema son los valores propios y las funciones propias del hamiltoniano del oscilador armónico cuántico . Los niveles de Landau juegan un papel esencial en los fenómenos cinéticos y termodinámicos en presencia de un fuerte campo magnético.

Observaciones introductorias

En mecánica cuántica , según la interpretación de Copenhague , las partículas no tienen una coordenada definida y solo se puede hablar de la probabilidad de encontrar una partícula en una determinada región del espacio. El estado de una partícula se describe mediante una función de onda , mientras que la dinámica de una partícula (o un sistema de partículas) no se describe mediante la segunda ley de Newton, sino mediante la mucho más compleja ecuación de Schrödinger . (La ecuación de Schrödinger es válida solo en el caso no relativista, es decir, cuando la velocidad de las partículas es mucho menor que la velocidad de la luz; de lo contrario, se aplica la ecuación de Dirac , aún más compleja ).

Un rasgo característico de la ecuación de Schrödinger es que sus valores propios pueden ser discretos. Por ejemplo, los planetas pueden girar alrededor del Sol en órbitas de cualquier radio y pueden tener un conjunto continuo de valores de energía, y un electrón en un átomo de hidrógeno en la aproximación semiclásica "gira" alrededor de un protón en órbitas de ciertos radios y solo puede tener algunas energías permitidas representadas en el espectro de energía.

Con el descubrimiento de las leyes de la mecánica cuántica, surgió la pregunta: ¿qué sucede con el movimiento de las partículas en un campo magnético en el caso de la mecánica cuántica? Para resolver este problema, es necesario resolver la ecuación de Schrödinger. Esto fue hecho por primera vez en 1930 por el físico soviético Landau . [1] Resultó que una partícula puede moverse a lo largo de un campo magnético a cualquier velocidad, pero para una proyección de velocidad dada a través del campo magnético, una partícula puede ocupar solo niveles de energía discretos. Estos niveles se denominaron niveles de Landau.

A continuación se muestra una solución semiclásica del problema del espectro de energía, la ecuación de Schrödinger (3), (8) y su solución (7), además:

la ecuación (1) describe los niveles de energía de una partícula en un campo magnético (niveles de Landau),
la ecuación (10) describe los niveles de energía de una partícula en campos eléctricos y magnéticos perpendiculares.
la ecuación (11) describe los niveles de energía de una partícula en un espacio bidimensional.

Caso semiclásico

Un electrón que se mueve a una velocidad en un campo magnético externo está sujeto a la fuerza de Lorentz , $\mathbf{v}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {B}}$

$\mathbf {\dot {p))={\frac {e}{c}}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right],$

donde es el vector momento, es la carga eléctrica elemental , es la masa del electrón , es la velocidad de la luz en el vacío, el punto denota diferenciación con respecto al tiempo. Su trayectoria es una hélice, y la proyección de la órbita sobre un plano perpendicular al vector es un círculo de radio ( el radio de Larmor , es la componente del momento perpendicular al campo). La trayectoria de un electrón en el espacio de cantidad de movimiento es un círculo con radio . $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ $mi$ $metro$ $C$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {B}}$ ${{r}_{L}}=c{{p}_{\bot}}/\left(eB\right)$ ${{p}_{\bot ))$ ${{p}_{\bot ))$

De acuerdo con los principios generales de la mecánica cuántica, se cuantiza la energía de movimiento limitada en el espacio en un plano perpendicular al campo magnético. En la aproximación semiclásica , los niveles de energía de un electrón se pueden encontrar en base a la fórmula de Lifshitz - Onsager [2] , que es una consecuencia de la regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld : [3]

$S\left(E,{{p}_{z}}\right)={\frac {2\pi e\hbar B}{c}}\left(n+\gamma \right),$

donde es la constante de Planck reducida , es el área de la sección transversal de la superficie (esfera) de energía constante por el plano , el eje se dirige a lo largo del campo magnético, . Sustituyendo la expresión por el área $\hbar$ $S\left(E,{{p}_{z}}\right)$ $E=constante$ ${{p}_{z}}=constante$ $z$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | \ gamma \ derecha | \ leq 1/2}$

$S=\pi p_{\bot }^{2}=\pi \left(2mE-p_{z}^{2}\right)$

obtenemos una expresión para los niveles de Landau válida para : ${\ estilo de visualización n \ gg 1}$

${{E}_{n}}\left({{p}_{z}}\right)=\hbar {{\omega }_{c}}\left(n+\gamma \right)+ {\frac{p_{z}^{2}}{2m}}.$

donde es la frecuencia del ciclotrón (CGS). $\omega _{c}={\frac {eB}{mc))$

Caso 3D

El espectro de energía de un electrón (el valor de energía dependiendo de su estado) en un campo magnético en el caso tridimensional se representa de forma simple [4]

E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega_{c}\left(n+{ \frac{1}{2}}\derecha),\qquad (1)

donde es el vector de onda en la dirección , que se toma como la dirección del campo magnético. Aquí el espectro de energía es fácil de interpretar. El movimiento a lo largo de un campo magnético, donde el campo magnético no afecta a una partícula cargada, se representa mediante ondas planas, como para una partícula libre con un vector de onda . El movimiento en la dirección perpendicular al campo magnético está limitado y el espectro de energía está totalmente cuantificado. Aunque el movimiento de una partícula ocurre en el espacio tridimensional, el espectro de energía depende solo de dos números cuánticos : continuo y discreto . Esto significa que el espectro de la partícula está degenerado . En el caso tridimensional, hay una doble degeneración de energía en términos de la proyección del vector de onda en la dirección del campo magnético . Además de esto, hay una degeneración del nivel de Landau igual a $k_{z}$ ${\overrightarrow {z))$ $(una)$ $k_{z}$ $k_{z}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ pm k_ {z}}$

N_{L}={\frac {eBS}{2\pi \hbar c)),\qquad (2)

La multiplicidad de degeneración de cada uno de los niveles de Landau es igual a la relación del área de la sección transversal de la muestra por un plano perpendicular al campo magnético al área de un círculo con un radio igual a la longitud magnética $S$

l_{H}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB))},

que es el tamaño característico de la región de alta probabilidad de encontrar la partícula.

Además, para los electrones libres en el espacio tridimensional, se observa una degeneración doble aproximada de los niveles de energía en el espín . Esta degeneración, sin embargo, no es trivial, ya que requiere que el nivel de Landau para el electrón de giro hacia abajo sea exactamente el mismo que el nivel de Landau para el electrón de giro hacia arriba más el momento magnético del electrón en el campo magnético. En otras palabras, se requiere que el factor g para un electrón sea exactamente 2 (esto, como muestra la electrodinámica cuántica , no es del todo cierto). Este requisito no se cumple aún más para los electrones, que son cuasipartículas en los sólidos (la masa efectiva de un electrón y su momento magnético están solo ligeramente relacionados). Sin embargo, el problema de un electrón con espín y factor g igual a 2 tiene cierto interés teórico, ya que puede representarse como un problema de supersimetría [5] .

Sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para un electrón en un campo magnético

La ecuación de Schrödinger estacionaria para un electrón en un campo magnético se representa como

{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}{\hat {\mathbf {A} }}\ derecha)^{2}\Psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\Psi _{n}(\mathbf {r} ),\qquad (3)

donde y son el operador de momento del electrón y el vector potencial del campo magnético, respectivamente, es la función de onda del electrón , es la energía y el índice denota el n-ésimo nivel de Landau. En el calibre Landau, la ecuación se puede escribir en la forma $\hat{\mathbf{p}}$ ${\sombrero {\mathbf {A} ))$ ${\ estilo de visualización \ Psi _ {n} (\ mathbf {r})}$ $E_{n}$ $norte$ $(3)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial y }}-{\frac {eB}{c}}x\right)^{2}\right]\Psi _{n}(x,y,z)=E_{n}\Psi _{n}(x ,y,z).\qquad(4)

Para separar las variables en esta ecuación conviene buscar la solución como producto de tres funciones

\Psi _{n}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {L_{z}L_{y))))e^{ik_{z}z}e^{ ik_{y}y}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (5)

donde y son las dimensiones del sistema, y son vectores de onda, el índice de la función de onda significa que depende de ella como parámetro. Sustituyendo en , obtenemos una ecuación unidimensional para $L_{z}$ ${\ Displaystyle L_ {y}}$ $k_{z}$ ${\ Displaystyle k_ {y}}$ ${\ Displaystyle k_ {y}}$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {n, k_ {y}} (x)}$ ${\ estilo de visualización (5)}$ $(cuatro)$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {n, k_ {y}} (x)}$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega_{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_ {n}\psi_{n,k_{y}}(x).\qquad(6)

Esta ecuación no es más que la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico cuántico con un cambio en el mínimo del potencial. Por lo tanto, las soluciones se pueden escribir como [4]

\psi _{n,k_{y}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!\pi ^{1/2}l_{H)))) e^{-{\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}}{2l_{H}^{2}}}}H_{n}\left({\ fracción {(x-k_{y}l_{H}^{2})}{l_{H}}}\right),\qquad (7)

donde es el polinomio de orden de Hermite . $H_n(x)$ $norte$

Sobre la influencia del campo eléctrico

Consideremos ahora el efecto de un campo eléctrico perpendicular al campo magnético en el espectro de energía de un electrón. Reescribamos la ecuación teniendo en cuenta el campo eléctrico dirigido a lo largo de : [6] ${\ estilo de visualización (6)}$ $\varepsilon$ $X$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega_{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}+e\varepsilon x\right]\psi _{n,k_{y}} (x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (8)

que, después de seleccionar el cuadrado completo, se representa como

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega_{ c}^{2}}{2}}(x-X_{k_{y}})^{2}+e\varepsilon k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {m}{ 2}}v_{d}^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}( x),\qquad(9)

donde , y . Vemos del hamiltoniano que el campo eléctrico simplemente desplaza el centro de la función de onda. El espectro de energía viene dado por la siguiente expresión: $X_{k_{y}}=k_{y}l_{H}^{2}-v_{d}/\omega_{c}$ $v_{d}=c\varepsilon /B$

E_{n,k_{y}}=\hbar \omega_{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+e\varepsilon X_{k_{y}}- {\frac{m}{2}}v_{d}^{2}.\qquad (10)

Caso bidimensional

En las estructuras dimensionales cuánticas , en las que el movimiento de los portadores de carga está limitado en una de las direcciones (por ejemplo, un pozo cuántico cerca del límite de una heterounión ), el espectro de energía se vuelve discreto para el movimiento a lo largo de la coordenada correspondiente (por ejemplo, la eje ). Si solo se llena un nivel cuántico con la energía mínima en el pozo de potencial , los portadores se comportan como un gas bidimensional , es decir bajo la influencia de campos externos, no tres, sino dos componentes del impulso ya pueden cambiar. [7] $z$ $E_{0}$

En este caso, el espectro de electrones consta de niveles equidistantes (con la distancia entre niveles , donde está determinada por la componente del campo magnético a lo largo del eje ). La energía del electrón es $\hbar \omega _{c}$ $\omega_{c}$ $z$

E(n)=E_{0}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\qquad (11)

Si elegimos la energía como origen, entonces la fórmula (11) tomará la forma: [7] $E_{0}$

E(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right).\qquad (12)

Notas

↑ Landau LD Diamagnetismus der Metalle (alemán) // Z. Phys.. - 1930. - Bd. 64 . — art. 629 .
↑ A.E. Meyerovich. Cuantificación de Lifshitz-Onsager . Enciclopedia de Física e Ingeniería . Consultado el 15 de enero de 2022. Archivado desde el original el 2 de junio de 2022. (Ruso)
↑ Abrikosov A.A. Fundamentos de la teoría de los metales / Ed. LA. Falkovski. - Moscú: FIZMATLIT, 2010. - S. 182. - 600 p. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). — 3ª edición, revisada y ampliada. — M .: Nauka , 1974 . — 752 pág. - ("Física Teórica", Tomo III).
↑ Gendenshtein L. E. , Krive I. V. Supersimetría en mecánica cuántica // UFN. - 1985. - T. 146 , núm. 4 . - S. 553-590 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508a.0553 . Archivado desde el original el 13 de julio de 2021.
↑ EN ADAMS y TD HOLSTEIN. TEORÍA CUÁNTICA DEL GALVANO TRANSVERSAL - FENÓMENOS MAGNÉTICOS // J. Phys. química sólidos. - Pergamon Press, 1959. - Vol. 10 _ — pág. 254-276 . - doi : 10.1016/0022-3697(59)90002-2 .
↑ 1 2 A. Ya. Shik, L. G. Bakueva, S. F. Musikhin, S. A. Rykov. FÍSICA DE SISTEMAS DE BAJA DIMENSIONAL / Editado por V. I. Ilyin y A. Ya. Shik. - San Petersburgo: "Nauka", 2001. - 160 p. — ISBN 5-02-024966-1 . (Ruso)

Literatura

Niveles de Landau // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M . : Enciclopedia soviética (vol. 1-2); Gran Enciclopedia Rusa (vols. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .