Función de error

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La función de error (también llamada función de error gaussiana) es una función no elemental que ocurre en la teoría de la probabilidad , la estadística y la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales . se define como

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{2}}} \,{\mathrm d}t

Una función de error adicional , denotada (a veces se usa la notación ), se define en términos de la función de error: $\nombre del operador {erfc}\,x$ $\nombre del operador {Erf}\,x$

\operatorname {erfc}\,x=1-\operatorname {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi ))))\int \limits _{x}^{{\infty }}e^{{-t^{2}}}\,{\mathrm d}t

La función de error compleja , denotada , también se define en términos de la función de error: $w(x)$

w(x)=e^{{-x^{2}}}\nombre del operador {erfc}\,(-ix)

Propiedades

La función de error es impar :

\nombre de operador {erf}\,(-x)=-\nombre de operador {erf}\,x.

Para cualquier complejo $X$

\nombre de operador {erf}\,{\bar {x}}=\overline {\nombre de operador {erf}\,x}

donde la barra denota la conjugación compleja del número .

X

La función de error no se puede representar en términos de funciones elementales , pero al expandir la expresión integrable en una serie de Taylor e integrar término por término, podemos obtener su representación como una serie:

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n}x^{{2n+1}}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\left(x-{\frac { x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9} {216}}-\\cdots\right)

Esta igualdad se cumple (y la serie converge) tanto para cualquier real como en todo el plano complejo , según la prueba de d'Alembert . La secuencia de denominadores forma la secuencia A007680 en OEIS .

X

Para el cálculo iterativo de los elementos de una serie, es útil presentarlo en una forma alternativa:

\operatorname {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum_{{n=0}}^{\infty}\left(x\prod_{{ i=1}}^{n}{{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}\right)={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum_{{n=0}}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod_{{i=1}}^{n}{\ fracción {-x^{2}}{i}}

puesto que es un factor que convierte al -ésimo miembro de la serie en el -ésimo, considerando el primer miembro .

{\frac{-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)))

i

(yo+1)

X

La función de error en el infinito es igual a uno; sin embargo, esto solo es cierto cuando se aproxima al infinito a lo largo del eje real, ya que:

Al considerar la función de error en el plano complejo, el punto será esencialmente singular para ella. $z=\infty$

La derivada de la función de error se deriva directamente de la definición de la función:

{\frac {d}{dx}}\,\nombre del operador {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\,e^{{-x^{2} }}.

La antiderivada de la función de error, obtenida por el método de integración por partes :

F(x)=x\operatorname {erf} (x)+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.

La función de error inverso es una serie

\operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\ fracción {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},

donde c 0 = 1 y

c_{k}=\sum_{{m=0}}^{{k-1}}{\frac {c_{m}c_{{k-1-m}}}{(m+1)(2m +1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.

Por lo tanto, la serie se puede representar de la siguiente forma (nótese que las fracciones se abrevian):

\operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3} {12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+ {\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right).

[una] Las secuencias de numerador y denominador después de la reducción son A092676 y A132467 en OEIS; la secuencia de numeradores antes de la abreviatura es A002067 en OEIS.

Aplicación

Si un conjunto de variables aleatorias sigue una distribución normal con una desviación estándar , entonces la probabilidad de que el valor se desvíe de la media en no más de , es igual a . $\sigma$ $a$ $\operatorname {erf}\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2))))$

La función de error y la función de error adicional ocurren en la solución de algunas ecuaciones diferenciales, por ejemplo, la ecuación del calor con condiciones iniciales descritas por la función de Heaviside ("paso").

En los sistemas de comunicación óptica digital, la probabilidad de error de bit también se expresa mediante una fórmula que utiliza la función de error.

Expansión asintótica

Para valores grandes , la expansión asintótica para la función de error adicional es útil : $X$

\operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n= 1}^{\infty}(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n))}\right ]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.

Aunque esta serie diverge para cualquier número finito, en la práctica los primeros términos son suficientes para calcular con buena precisión, mientras que la serie de Taylor converge muy lentamente. $X$ $\nombre del operador {erfc}\,x$

Otra aproximación viene dada por la fórmula

(\operatorname {erf}\,x)^{2}\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{ 2}}}\derecha)

dónde

a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.

Funciones relacionadas

Hasta la escala y el desplazamiento, la función de error coincide con la distribución acumulativa normal , denotada $\fi (x)$

\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operatorname {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.

La función inversa de k , conocida como función cuantil normal , a veces se denota y expresa en términos de la función de error normal como $\Fi$ $\nombre del operador {probit}$

\operatorname {probit}\,p=\Phi ^{{-1}}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf}^{{-1}}(2p-1).

La distribución acumulativa normal se usa más comúnmente en la teoría de la probabilidad y las estadísticas matemáticas, mientras que la función de error se usa más comúnmente en otras áreas de las matemáticas.

La función de error es un caso especial de la función de Mittag-Leffler , y también se puede representar como una función hipergeométrica degenerada ( la función de Kummer ):

\operatorname {erf}\,x={\frac {2x}{{\sqrt {\pi }}}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}, {\frac{3}{2}},-x^{2}\right).

La función de error también se expresa en términos de la integral de Fresnel . En términos de la función gamma incompleta regularizada P y la función gamma incompleta ,

\operatorname {erf}\,x=\operatorname {signo}\,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {signo}\ ,x \over {\sqrt {\pi ))}\gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right).

Funciones de error generalizado

Algunos autores discuten características más generales

E_{n}(x)={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{n}}} \,{\mathrm d}t={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\sum_{{p=0}}^{\infty}(-1)^{p} {\frac{x^{{np+1}}}{(np+1)p!}}\,.

Los casos especiales notables son:

$E_{0}(x)$ es una recta que pasa por el origen de coordenadas: $E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi ))))$
$E_{2}(x)$ es la función de error . $\nombre del operador {erf}\,x$

Después de dividir por todos los pares con aspecto similar (pero no idéntico), se puede decir lo mismo con los pares . Todas las funciones de error generalizado tienen un aspecto similar a los semiejes . $¡norte!$ $E_{n}$ $norte$ $E_{n}$ $norte$ $n>0$ $x>0$

En el semieje , todas las funciones generalizadas se pueden expresar en términos de la función gamma : $x>0$

E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n))\right)-\Gamma \left({\frac {1} {n)),x^{n}\right)\right)}{{\sqrt \pi }}},\quad \quad x>0

Por lo tanto, podemos expresar la función de error en términos de la función gamma:

\operatorname {erf}\,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right)}({\sqrt \pi ))}

Integrales iteradas de la función de error complementaria

Las integrales iteradas de la función de error complementaria se definen como [1] $\operatorname {I^{n}erfc}$

\operatorname {I^{0}erfc} \,z=\operatorname {erfc} \,z

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty}\operatorname {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\ zeta,

para _

n>0

Se pueden organizar en una fila:

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{nj}j !\,\Gamma \left(1+{\frac {nj}{2}}\right)}}\,,

de donde se siguen las propiedades de simetría

\operatorname {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operatorname {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac { z^{2q}}{2^{2(mq)-1}(2q)!(mq)!}}

\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{ \frac {z^{2q+1}}{2^{2(mq)-1}(2q+1)!(mq)!}}\,.

Implementaciones

El estándar del lenguaje C (ISO/IEC 9899:1999 cláusula 7.12.8) proporciona una función de error y una función de error adicional . Las funciones se declaran en archivos de encabezado (para C ) o (para C++ ). Los pares de funciones , y , también se declaran allí . El primer par recibe y devuelve valores de tipo , y el segundo par devuelve valores de tipo . Las funciones correspondientes también se encuentran en la biblioteca de proyectos de Boost . $\nombre del operador {erf}$ $\nombre del operador {erfc}$ math.h cmatherff()erfcf()erfl()erfcl()floatlong doubleMath

En el lenguaje Java , la biblioteca estándar de funciones matemáticas java.lang.Mathno contiene [2] una función de error. La clase se puede encontrar en un Erfpaquete de org.apache.commons.math.specialbiblioteca no estándar proporcionado por [3] Apache Software Foundation .

Los sistemas de álgebra computacional Maple [2] , Matlab [3] , Mathematica y Maxima [4] contienen funciones de error ordinarias y adicionales, así como funciones inversas a ellas.

En Python , la función de error está disponible [4] en la biblioteca estándar mathdesde la versión 2.7. Además, la función de error, la función de error adicional y muchas otras funciones especiales se definen en el módulo del Specialproyecto SciPy [5] .

En Erlang , la función de error y la función de error adicional están disponibles en el módulo estándar math[5] .

En Excel, la función de error se representa como FOS y FOS.EXC [6]

Véase también

Notas

↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conducción de calor en sólidos (2.ª ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 , p 484
↑ Matemáticas (Java Platform SE 6) . Fecha de acceso: 28 de marzo de 2008. Archivado desde el original el 29 de agosto de 2009. (indefinido)
↑ Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 28 de marzo de 2008. Archivado desde el original el 9 de abril de 2008. (indefinido)
↑ 9.2. math - Funciones matemáticas - Documentación de Python - 2.7.10rc0
↑ El idioma Erlang . Descripción Archivado el 20 de junio de 2012 en Wayback Machine de las funciones del módulo estándar math.
↑ Función FOS . soporte.microsoft.com . Consultado el 15 de noviembre de 2021. Archivado desde el original el 15 de noviembre de 2021. (indefinido)

Literatura

Prensa, William H.; Teukolsky, Saúl A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), Sección 6.2. Función gamma incompleta y función de error , Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . - Nueva York: Dover, 1972. - T. 7.
Nikolái G. Lehtinen. Funciones de error (abril de 2010). Fecha de acceso: 25 de mayo de 2019. (indefinido)

Enlaces

diccionarios y enciclopedias	Gran soviet (1 ed.)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4156112-0 NDL : 00562553