Sistema de álgebra computacional

Computer algebra system ( SKA , ing.  computer algebra system, CAS ) es un programa de aplicación para cálculos simbólicos , es decir, realizar transformaciones y trabajar con expresiones matemáticas en forma analítica (simbólica).

Cálculos simbólicos

Los sistemas de álgebra computacional varían en capacidades, pero generalmente admiten las siguientes acciones simbólicas:

• simplificación de expresiones a un tamaño más pequeño o reducción a una forma estándar , incluida la simplificación automática utilizando suposiciones y restricciones
• sustitución de valores simbólicos y numéricos en expresiones
• cambiando la forma de expresiones: revelación de productos y potencias, factorización parcial y completa (factorización)
• expansión en fracciones simples, cumplimiento de restricciones , notación de funciones trigonométricas en términos de exponentes, transformación de expresiones lógicas
• diferenciación en derivadas parciales y totales
• encontrar integrales definidas e indefinidas ( integración simbólica )
• solución simbólica de problemas de optimización : encontrar extremos globales, extremos condicionales, etc.
• solución de ecuaciones lineales y no lineales
• solución algebraica (no numérica) de ecuaciones en diferencias finitas y diferenciales
• encontrar límites de funciones y secuencias
• transformaciones integrales
• manipulación de series : suma, multiplicación, superposición
• operaciones matriciales : inversión, factorización, resolución de problemas espectrales
• cálculos estadísticos
• demostración automática de teoremas , verificación formal
• síntesis del programa

Funciones adicionales

Muchos de los SKA también incluyen:

• un lenguaje de programación que permite a los usuarios componer sus propios algoritmos
• operaciones numéricas de precisión arbitraria
• aritmética de enteros para números grandes y compatibilidad con funciones de teoría de números
• editar expresiones matemáticas en forma bidimensional (con subíndices, fracciones comunes, etc.)
• graficar funciones en dos o tres dimensiones y sus animaciones
• dibujar gráficos y tablas
• API para uso de programas externos ( bases de datos ) o en lenguajes de programación para uso de un sistema de álgebra computacional
• operaciones con cadenas ( búsqueda de subcadenas )
• módulos adicionales de matemáticas aplicadas para campos como la física , la bioinformática , la química computacional y paquetes para la ingeniería física informática

Algunos también incluyen:

• creación y edición de gráficos ( creación de imágenes por computadora , así como procesamiento de señales y análisis de imágenes )
• síntesis de sonido

Algunos SCA están dirigidos a un área específica de uso; por lo general, estos programas son desarrollados por la comunidad académica y se distribuyen de forma gratuita. Es posible que no sean tan eficientes en cálculos numéricos como los sistemas para métodos numéricos .

Historia

SKA apareció a principios de la década de 1960 y se desarrolló por etapas, principalmente en dos direcciones: la física teórica y la creación de inteligencia artificial .

El primer ejemplo exitoso fue el trabajo pionero de Martinus Veltman (posteriormente galardonado con el Premio Nobel de Física ), quien en 1963 creó un programa de computación simbólica (para las necesidades de la física de altas energías), al que denominó Schoonschip.

Utilizando LISP , Karl Engelman creó MATHLAB en 1964 como parte del proyecto MITRE (para el estudio de la inteligencia artificial ). Posteriormente, MATHLAB estuvo disponible en las universidades para usuarios de mainframe PDP-6 y PDP-10 con sistemas operativos como TOPS-10 o TENEX . Por ahora, todavía se puede ejecutar en emulaciones SIMH PDP-10. MATHLAB (" laboratorio de matemáticas " ) no debe confundirse con MATLAB (" laboratorio de matrices " ), un sistema de cálculo numérico creado 15 años después en la Universidad de Nuevo México.

A partir de finales de la década de 1960, la primera generación de SKA incluía sistemas [1] :

• MACSYMA (Joel Moisés)
• MATLAB ( Instituto de Tecnología de Massachusetts ),
• SCRATCHPAD (Richard Jencks, IBM )
• REDUCIR (Tony Hearn)
• SAC-I, más tarde SACLIB (George Collins),
• MUMATH para microprocesadores (David Stoutmyer) y su sucesor
• DERIVAR.

Estos sistemas eran capaces de realizar cálculos simbólicos: integración, diferenciación, factorización.

La segunda generación, que adoptó una interfaz gráfica de usuario más moderna , incluye Maple (Kate Geddes y Gaston Gonnet, Universidad de Waterloo , 1985) y Mathematica ( Stephen Wolfram ), que son muy utilizadas por matemáticos, científicos e ingenieros [1] . Las alternativas gratuitas son Sage , Maxima , Reduce .

En 1987 , Hewlett-Packard introdujo la primera calculadora analítica de bolsillo ( HP-28 ), y fue la primera calculadora en implementar la organización de expresiones algebraicas, la diferenciación, la integración analítica restringida, la expansión de la serie de Taylor y la resolución de ecuaciones algebraicas.

Texas Instruments lanzó la calculadora TI-92 en 1995 con extensiones CAS revolucionarias basadas en el software Derive. Esta calculadora y sus sucesoras, incluidas la serie TI-89 y TI-Nspire CAS lanzadas en 2007, demostraron la viabilidad de construir sistemas de álgebra computacional relativamente compactos y económicos.

En la tercera generación se empezó a aplicar el enfoque categórico y los cálculos de operadores [1] :

• AXIOM , seguidor de SCRATCHFAD (NAG),
• MAGMA (John Cannon, Universidad de Sydney ),
• MUPAD (Benno Fuchssteiner, Universidad de Paderborn).

Para 2012, la investigación en el campo de los sistemas de álgebra computacional continúa en tres direcciones: la capacidad de resolver problemas cada vez más amplios, la facilidad de uso y la rapidez de trabajo [1] .

Ramas de las matemáticas utilizadas en los sistemas de álgebra computacional

• Integración simbólica  - Algoritmo de Risch
• Suma hipergeométrica  - Algoritmo de Gosper
• Límite (matemáticas)  - Algoritmo de Gruntz
• Factorización de polinomios. Para áreas acotadas se utiliza el algoritmo de Berlekamp o el algoritmo de Cantor-Zassenhaus .
• Máximo Común Divisor  - Algoritmo de Euclides
• método de Gauss
• Base de Gröbner  - Algoritmo de Buchberger
• Aproximación de Padé
• Lema de Schwarz-Zippel y verificación de la igualdad de polinomios
• Teorema del resto chino
• Ecuación diofántica
• Eliminación de cuantificadores sobre números reales - Método de Tarski
• Algoritmo de Landau
• Derivadas de funciones elementales y especiales (por ejemplo, ver función gamma incompleta )

Véase también

• ANALISTA

Notas

1. ↑ 1 2 3 4 Álgebra informática moderna, 2013 , 1.4. Sistemas computacionales de álgebra.

Literatura

• Richard J. Fateman. Ensayos de simplificación algebraica  . - 1972. - 191 págs. - (Informe técnico MIT-LCS-TR-095). Archivado el 17 de septiembre de 2006 en Wayback Machine .
• Taranchuk VB Funciones básicas de los sistemas de álgebra computacional . - Minsk: BGU, 2013. - 59 p. (Ruso)
• Buchberger B. y otros. Álgebra computacional: Cálculos simbólicos y algebraicos. — M .: Mir, 1986. — 392 p.
• Joachim von zur Gathen; Jürgen Gerhard. Álgebra informática moderna, tercera edición . - Cambridge University Press, 2013. - 808 p. — ISBN 978-1-107-03903-2 .

Enlaces

• Definición y funcionamiento de un sistema de álgebra computacional
• Plan de estudios y evaluación en la era de los sistemas de álgebra computacional  : del Centro de información de recursos educativos Centro de información para ciencias, matemáticas y educación ambiental, Columbus, Ohio.
• STACK  es un sistema de entrenamiento y evaluación basado en álgebra computacional
• Una colección de sistemas de álgebra computacional.