Teorema del límite central

Los teoremas del límite central (CLT) son una clase de teoremas en la teoría de la probabilidad , que establece que la suma de un número suficientemente grande de variables aleatorias débilmente dependientes que tienen aproximadamente la misma escala (ninguno de los términos domina, no hace una contribución definitoria a la suma ), tiene una distribución cercana a la normal .

Dado que muchas variables aleatorias en las aplicaciones se forman bajo la influencia de varios factores aleatorios débilmente dependientes, su distribución se considera normal. En este caso, debe observarse la condición de que ninguno de los factores sea dominante. Los teoremas del límite central en estos casos justifican la aplicación de la distribución normal.

CLT clásico

Sea una secuencia infinita de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente con una expectativa y varianza matemática finitas . Deja también $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ $\mu$ $\sigma^{2}$

S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

Después

{\frac{S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt n))}\a N(0,1)

por distribución en ,

n\to\infty

donde es una distribución normal con media cero y desviación estándar igual a uno. Definiendo la media muestral de los primeros valores como $N(0,1)$ $norte$

{\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

podemos reescribir el resultado del teorema del límite central de la siguiente forma:

{\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)

por distribución en .

n\to\infty

La tasa de convergencia se puede estimar utilizando la desigualdad de Berry-Esseen .

Notas

Hablando de manera informal, el teorema del límite central clásico establece que la suma de variables aleatorias distribuidas idénticamente independientes tiene una distribución cercana a . De manera equivalente, tiene una distribución cercana a . $norte$ $N(n\mu ,n\sigma ^{2})$ ${\bar{X}}_{n}$ $N(\mu,\sigma^{2}/n)$
Dado que la función de distribución de la distribución normal estándar es continua , la convergencia a esta distribución es equivalente a la convergencia puntual de las funciones de distribución a la función de distribución de la distribución normal estándar. Fijando , obtenemos , donde es la función de distribución de la distribución normal estándar. $Z_{n}={\frac{S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n))))$ $F_{{Z_{n}}}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in {\mathbb {R}}$ $\fi (x)$
El teorema del límite central en la formulación clásica se demuestra por el método de las funciones características ( teorema de continuidad de Levy ).
En términos generales, la convergencia de las densidades no se sigue de la convergencia de las funciones de distribución . Sin embargo, en este caso clásico, este es el caso.

CLT locales

Bajo los supuestos de la formulación clásica, supongamos además que la distribución de variables aleatorias es absolutamente continua, es decir, tiene una densidad. Entonces la distribución también es absolutamente continua, y además, $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty}}$ $Z_{n}$

f_{{Z_{n}}}(x)\to {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{{-{\frac {x^{2}}{ 2}}}}

en ,

n\to\infty

donde está la densidad de la variable aleatoria , y en el lado derecho está la densidad de la distribución normal estándar. $f_{{Z_{n}}}(x)$ $Z_{n}$

Generalizaciones

El resultado del teorema clásico del límite central es válido para situaciones mucho más generales que la independencia completa y la distribución equitativa.

CPT Lindeberg

Deje que las variables aleatorias independientes se definan en el mismo espacio de probabilidad y tengan expectativas y varianzas matemáticas finitas : . $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ ${\mathbb {E}}[X_{i}]=\mu _{i},\;{\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma_{i}^{2}$

deja _ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

entonces _ ${\mathbb {E}}[S_{n}]=m_{n}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu _{i},\;{\mathrm {D} }[S_{n}]=s_{n}^{2}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}$

Y satisfaga la condición de Lindeberg :

\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{{n\to \infty }}\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[{ \frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,{\mathbf {1}}_{{\{|X_{i }-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}\right]=0,

donde función es un indicador. ${\mathbf {1}}_{{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}$

Después

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\a N(0,1)

por distribución en .

n\to\infty

TsPT Lyapunov

Deje que se satisfagan los supuestos básicos de la CLT de Lindeberg. Deje que las variables aleatorias tengan un tercer momento finito . Entonces la secuencia $\{X_{i}\}$

r_{n}^{3}=\sum_{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[|X_{i}-\mu_{i}|^{3} \Correcto]

si limite

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0

( Condición de Lyapunov ),

después

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\a N(0,1)

por distribución en .

n\to\infty

CLT para martingalas

Sea el proceso una martingala con incrementos acotados. En particular, supongamos que $(X_{n})_{{n\in {\mathbb {N})))$

{\mathbb {E}}\left[X_{{n+1}}-X_{n}\mid X_{1},\ldots,X_{n}\right]=0,\;n\in {\ matemáticabb {N}},\;X_{0}\equiv 0,

y los incrementos están uniformemente acotados, es decir

\existe C>0\,\forall n\in {\mathbb {N}}\;|X_{{n+1}}-X_{n}|\leq C

Introducimos procesos aleatorios y de la siguiente manera: $\sigma _{n}^{2}$ $\tau_n$

\sigma _{n}^{2}={\mathbb {E}}\left[(X_{{n+1}}-X_{n})^{2}\mid X_{1},\ldots , X_{n}\derecho]

\tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\sum _{{i=1}}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\right. \Correcto\}

Después

{\frac {X_{{\tau _{n}}}}{{\sqrt {n}}}}\a N(0,1)

por distribución en .

n\to\infty

CLT para vectores aleatorios

Sea una secuencia de vectores aleatorios independientes e igualmente distribuidos, cada uno de los cuales tiene una media y una matriz de covarianza no singular . Denotar por el vector de sumas parciales. Entonces, para , existe una débil convergencia de las distribuciones de los vectores ${\vec {X_{1}}},\ldots ,{\vec {X_{n}}},\ldots$ $E{\vec {X_{1}}}={\vec {a}}$ $\Sigma$ ${\displaystyle S_{n}={\vec {X_{1))}+\ldots +{\vec {X_{n))))$ $n\to\infty$

${\vec {\eta _{n))}={\frac {S_{n}-na}{\sqrt {n))}\xrightarrow {débil} {\vec {\eta ))$ , donde tiene distribución . ${\ Displaystyle {\ vec {\ eta}}}$ ${\ Displaystyle N ({{\ vec {0)), \ Sigma})}$

Véase también

Notas

↑ Rouaud, Mathieu. Probabilidad, Estadística y Estimación (indefinida) . - 2013. - S. 10.

Enlaces

Teoremas de límite de la teoría de la probabilidad. Ejemplos de uso

diccionarios y enciclopedias	Gran catalán gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	BNF : 122653738 TIERRA : 4067618-3 J9U : 987007284968305171 LCCN : sh85021905