Números de Salem

En matemáticas , un número de Salem es un entero algebraico real α > 1 cuyos conjugados tienen como máximo módulo 1 y al menos uno de ellos tiene módulo 1. Los números de Salem son de interés para las aproximaciones diofánticas y el análisis armónico . Llevan el nombre del matemático francés Raphael Salem .

Propiedades

Dado que el número de Salem tiene un número conjugado con valor absoluto 1, el polinomio mínimo para el número de Salem debe ser inverso . Se sigue que 1/α es también una raíz, y todas las demás raíces tienen un valor absoluto exactamente igual a 1. Como consecuencia, el número α debe ser un elemento invertible (unidad de anillo) en el anillo de los enteros algebraicos , que es el norma de 1.

Todo número de Salem es un número de Perron (un número entero algebraico mayor que 1 cuyo módulo es mayor que todos sus conjugados).

Relación con los números de Pisot-Vijayaraghavan

El número de Salem más pequeño conocido es la raíz real más grande del polinomio de Lehmer (llamado así por el matemático estadounidense Derrick Lehmer )

P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+ x+1,

cuyo valor es x ≈ 1.177 628; se supone que es el número de Salem más pequeño y la medida de Mahler más pequeña posible para un polinomio no cíclico irreducible [1] .

El polinomio de Lehmer es un factor del polinomio de grado 12 más corto,

Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,

cuyas doce raíces satisfacen la relación [2]

x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{ 90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1 )(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}

Los números de Salem están estrechamente relacionados con Pisot-Vijayaraghavan (números PV) . El menor de los números PV es la única raíz real del polinomio de tercer grado

{\ estilo de visualización x^{3}-x-1,}

conocido como el " número plástico " y aproximadamente igual a 1.324718. Los números PV se pueden usar para generar una familia de números de Salem, incluido el más pequeño. La forma general es tomar el polinomio mínimo P ( x ) de un número PV de grado n y su polinomio inverso P* ( x ) (cuyos coeficientes se forman, en términos generales, “reflejando” los coeficientes del polinomio P ( x ) con respecto a x n /2 ) y resolver la ecuación

x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)

relativo a un entero n . Restando un lado del otro, factorizando y eliminando factores triviales , se puede obtener un polinomio mínimo para algunos números de Salem. Por ejemplo, si tomamos un número de plástico y elegimos más en lugar del más o menos anterior, entonces:

x^{n}(x^{3}-x-1)=-x^{3}-x^{2}+1

y para n = 8 obtenemos

{\ estilo de visualización (x-1) (x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3} +x+1)=0,}

donde el polinomio de décimo grado es el polinomio de Lehmer. Usando un valor mayor de n , obtenemos una familia de polinomios, una de cuyas raíces se acerca al número plástico . Esto se puede entender extrayendo los n-ésimos radicales de potencia de ambos lados de la ecuación,

{\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n))

Cuanto mayor sea el valor de n , más se acercará x a la solución x 3 − x − 1 = 0.[ aclarar ] Al elegir un signo positivo en lugar de más o menos, la raíz x se aproxima al número plástico en sentido opuesto[ ¿Qué? ] dirección. Usando el polinomio mínimo del siguiente número PV más pequeño ${\ estilo de visualización x^{4}-x^{3}-1}$

x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),

que para n = 7 toma la forma

{\ estilo de visualización (x-1) (x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0}

en un polinomio de grado no generado en el anterior y tiene una raíz x ≈ 1.216391… que es el quinto número de Salem más pequeño conocido. Como n tiende al infinito, esta familia, a su vez, tiende a la raíz real más grande de x 4 − x 3 − 1 = 0.

Notas

↑ Borwein (2002) p.16
↑ D. Bailey y D. Broadhurst, Una escalera de polilogaritmo de decimoséptimo orden

Literatura

Borwein, PeterExcursiones Computacionales en Análisis yTeoría de Números . - Springer-Verlag , 2002. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 . Cap. 3.
Boyd, David (2001), número de Salem , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
MJ Mossinghof. Pequeños números de Salem . Fecha de acceso: 7 de enero de 2016. (indefinido)
Salem, r.Números algebraicos y análisis de Fourier (indefinido) . — Boston, MA: DC Heath and Company, 1963. - (Monografías matemáticas de Heath).

números algebraicos
Variedades	enteros algebraicos Nodos de Chebyshev Números constructivos el conjunto de Eisenstein enteros gaussianos Anillo Kummer Números de Perron Números Piso-Vijayaraghavan irracionalidad cuadrática ℚ Raíces de la unidad Números de Salem
Específico	constante de Conway 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2