Orbe exótico

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Una esfera exótica es una variedad suave M que es homeomorfa pero no difeomorfa a la n - esfera estándar .

Historia

Los primeros ejemplos de esferas exóticas fueron construidos por John Milnor en dimensión 7; demostró que hay al menos 7 estructuras lisas distintas. Ahora se sabe que hay 28 estructuras lisas diferentes sobre la orientada (15 sin tener en cuenta la orientación). ${\ estilo de visualización S^{7}}$ ${\ estilo de visualización S^{7}}$

Estos ejemplos, las llamadas esferas de Milnor , se han encontrado entre paquetes espaciales . Dichos paquetes se clasifican por dos enteros y por el elemento . Algunos de estos paquetes son homeomorfos a la esfera estándar, pero no difeomorfos a ella. $S^{3}$ ${\ estilo de visualización S^{4))$ $a$ $b$ $\mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))$ $M_{a,b}$

Dado que están simplemente conectados, según la conjetura generalizada de Poincaré , la verificación del homeomorfismo y se reduce a contar la homología ; esta condición impone ciertas condiciones a y . $M_{a,b}$ $M_{a,b}$ ${\ estilo de visualización S^{7}}$ $M_{a,b}$ $a$ $b$

En la prueba de no difeomorfismo, Milnor argumenta por contradicción . Se da cuenta de que la variedad es el límite de una variedad de 8 dimensiones: el espacio del paquete de discos sobre . Además, si es difeomorfa a la esfera estándar, entonces se puede pegar con una bola, obteniendo una variedad en 8 lisa y cerrada. Calcular la firma de la variedad resultante en términos de sus números de Pontryagin conduce a una contradicción. $M_{a,b}$ ${\ Displaystyle W_ {a, b}}$ ${\ estilo de visualización D^{4))$ ${\ estilo de visualización S^{4))$ $M_{a,b}$ ${\ Displaystyle W_ {a, b}}$

Clasificación

Una suma conectada de dos esferas n -dimensionales exóticas también es una esfera exótica. La operación de suma conectada convierte varias estructuras suaves en una esfera n - dimensional orientada en un monoide , llamado monoide de esferas exóticas .

n ≠ 4

Porque se sabe que el monoide de las esferas exóticas es un grupo abeliano , llamado grupo de las esferas exóticas . ${\ estilo de visualización n \ neq 4}$

Este grupo es trivial para . Es decir, en estas dimensiones, la existencia de un homeomorfismo sobre la esfera estándar implica la existencia de un difeomorfismo sobre . Porque , es isomorfo a un grupo cíclico de orden 28. Es decir, existe una esfera exótica de 7 dimensiones tal que cualquier esfera exótica de 7 dimensiones es difeomorfa a una suma conectada de varias copias de ; además, la suma conectada de 28 copias es difeomorfa a la esfera estándar . ${\ estilo de visualización n = 1,2,3,5,6}$ $S^{n}$ $S^{n}$ $n=7$ ${\ estilo de visualización \ Sigma ^ {7}}$ ${\ estilo de visualización \ Sigma ^ {7}}$ ${\ estilo de visualización \ Sigma ^ {7}}$ ${\ estilo de visualización S^{7}}$

El grupo de esferas exóticas es isomorfo al grupo Θ n de clases de cobordismo h orientado de la n -esfera de homotopía . Este grupo es finito y abeliano.

El grupo tiene un subgrupo cíclico. $\Theta_n$

bP_{n+1}

correspondientes a las esferas que delimitan las variedades paralelizables . $norte$

Si n es par , entonces el grupo es trivial, $bP_{n+1}$
Si , entonces el grupo tiene orden 1 o 2 $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $bP_{n+1}$
- Tiene orden 1 cuando n = 1, 5, 13, 29 o 61.
- Tiene orden 2 a las , si al mismo tiempo $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $n\neq 2^{k}-3$
Si , es decir , entonces cuando el orden es igual a $n\equiv 3{\pmod {4}}$ ${\ estilo de visualización n + 1 = 4m}$ ${\ estilo de visualización m \ geq 2}$
- $|bP_{4m}|=2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)B$ ,

donde es el numerador de la fracción , son los números de Bernoulli . (A veces, la fórmula es ligeramente diferente debido a las diferentes definiciones de los números de Bernoulli).

B

|4B_{2m}/m|

B_{{2 millones}}

Los grupos de factores se describen en términos de grupos homotópicos estables de esferas módulo la imagen de un homomorfismo J ). Más precisamente, hay un homomorfismo inyectivo ${\ estilo de visualización \ Theta _ {n}/bP_{n+1}}$

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J

donde es el n-ésimo grupo homotópico estable de esferas, y es la imagen del J -homomorfismo. Este homomorfismo es un isomorfismo o tiene una imagen de índice 2. Esto último sucede si y solo si existe una variedad paralelizable n - dimensional con el invariante de Kervaire 1. ${\ estilo de visualización \ pi _ {n}^ {S}}$ $j$

La cuestión de la existencia de tal variedad se llama el problema de Kerver. A partir de 2012, no se ha resuelto solo para el caso . Se construyeron variedades con el invariante 1 de Kervaire en las dimensiones 2, 6, 14, 30 y 62. ${\ estilo de visualización n = 126}$

Dimensión n	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	once	12	13	catorce	quince	dieciséis	17	Dieciocho	19	veinte
orden en	una	una	una	una	una	una	28	2	ocho	6	992	una	3	2	16256	2	dieciséis	dieciséis	523264	24
Orden bP n +1	una	una	una	una	una	una	28	una	2	una	992	una	una	una	8128	una	2	una	261632	una
Orden Θ n / bP n +1	una	una	una	una	una	una	una	2	2×2	6	una	una	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Orden π n S / J	una	2	una	una	una	2	una	2	2×2	6	una	una	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Índice	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

Se pueden calcular otros valores de esta tabla a partir de la información anterior junto con una tabla de grupos de esferas homotópicas estables.

En dimensiones impares, esferas y solo ellas tienen una única estructura lisa. Wang y Xu (2017 ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1},\mathbb {S} ^{3},\mathbb {S} ^{5},\mathbb {S} ^{61))$

n = 4

En dimensión , prácticamente nada se sabe sobre el monoide de esferas lisas, excepto que es finito o contablemente infinito y abeliano. No se sabe si existen estructuras lisas exóticas en las 4 esferas. La afirmación de que no existen se conoce como la "conjetura suave de Poincaré". ${\ estilo de visualización n = 4}$

El llamado giro de Gluck consiste en cortar una vecindad tubular de la 2-esfera S 2 en S 4 y pegarla usando un difeomorfismo de su límite . El resultado siempre es homeomorfo a S 4 , pero en la mayoría de los casos no se sabe si es difeomorfo a S 4 . $S^{2}\veces S^{1}$

Esferas retorcidas

Sea dado un difeomorfismo que conserve la orientación. Al pegar dos copias de la pelota a lo largo del mapeo entre los límites, obtenemos la llamada esfera llena de un difeomorfismo . La esfera torcida es homeomorfa a la esfera estándar, pero, en términos generales, no es difeomorfa a ella. $f\dos puntos S^{n-1}\a S^{n-1}$ $F$ $F$

En otras palabras, una variedad se llama esfera torcida si admite una función de Morse con exactamente dos puntos críticos.

Para n ≠ 4 cualquier esfera exótica es difeomorfa a alguna esfera retorcida.
Para n = 4 cualquier esfera torcida es difeomorfa a una estándar.

Véase también

Enlaces

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Enlaces externos

Orbes exóticos en Manifold Atlas (enlace descendente a partir del 05-06-2016 [2373 días])
Reinos exóticos. Materiales de origen relacionados con reinos exóticos.
Animaciones y 7 esferas realmente exóticas : video de la charla de Niles Johnson de la Segunda Conferencia Abel .
Gluck_construcción