Funciones elementales

Las funciones elementales son funciones que se pueden obtener utilizando un número finito de operaciones aritméticas y composiciones a partir de las siguientes funciones elementales básicas [1] :

función de potencia con cualquier exponente real;
funciones exponenciales y logarítmicas ;
funciones trigonométricas y trigonométricas inversas .

Cada función elemental se puede definir mediante una fórmula, es decir, un conjunto de un número finito de símbolos correspondientes a las operaciones utilizadas. Todas las funciones elementales son continuas en su dominio de definición.

A veces, las funciones elementales básicas también incluyen funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas , aunque se pueden expresar en términos de las funciones elementales básicas enumeradas anteriormente.

Funciones elementales según Liouville

Considerando las funciones de una variable compleja, Liouville definió las funciones elementales algo más ampliamente. Una función elemental de una variable es una función analítica que se puede representar como una función algebraica, además: $y(x)$ $X$ $y(x)=\phi (x,z_{1},...,z_{r}),$

$z_{1}$ es el logaritmo o exponente de alguna función algebraica $g_{1}(x),$
$z_{2}$ es el logaritmo o exponente de alguna función algebraica $g_{2}(x,z_{1}),$

...

${\ Displaystyle z_ {r}}$ es el logaritmo o exponente de alguna función algebraica $g_{r}(x,z_{1},...,z_{r-1}).$

Por ejemplo, es una función elemental en este sentido, ya que es una función algebraica de la función exponencial ${\ estilo de visualización y (x) = \ sin (x)}$ $e^{ix}:$

\sin(x)={\frac {(e^{ix})^{2}-1}{2ie^{ix}}}.

En general, utilizando la identidad indicada, todas las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas se pueden expresar en términos de logaritmos, exponenciales, operaciones aritméticas, así como la operación de sacar una raíz cuadrada. Por supuesto, esto usará la unidad imaginaria $i={\sqrt {-1)).$

La función también es elemental, ya que se puede representar como: $y(x)=e^{e^{x))$

{\ estilo de visualización y (x) = \ phi (x, z_ {1}, z_ {2}),}

dónde

z_{1}=e^{x},\ z_{2}=e^{z_{1)),\ \phi (x,z_{1},z_{2})=z_{2} .

Sin pérdida de generalidad, las funciones pueden considerarse algebraicamente independientes. Esto significa que la relación algebraica se puede cumplir para todos solo si los coeficientes del polinomio son iguales a cero. $z_{1},\puntos,z_{r}$ ${\ estilo de visualización \ psi (x, z_ {1},..., z_ {r}) = 0}$ $X$ ${\ estilo de visualización \ psi (x, z_ {1},..., z_ {r})}$

Diferenciación de funciones elementales

La derivada de una función elemental es siempre una función elemental y se puede encontrar en un número finito de pasos. Es decir, por la regla de diferenciación de una función compleja

y'(x)={\frac {d}{dx}}\phi (x,z_{1},\dots ,z_{r})={\frac {\parcial \phi }{\parcial x}} +\sum \limits _{{i=1}}^{r}{\frac {\parcial \phi }{\parcial z_{i}}}{\frac {dz_{i}}{dx}},

donde es igual a o o dependiendo de si es logaritmo o exponente, etc. En la práctica, es conveniente utilizar la tabla de derivadas . $z_{1}'(z)$ $g_{1}'/g_{1}$ $z_{1}g_{1}'$ $z_{1}$

Integración de funciones elementales

La integral de una función elemental no siempre es en sí misma una función elemental. Las funciones más comunes cuyas integrales se encuentran están recogidas en la tabla de integrales . En el caso general, el problema de integrar funciones elementales se resuelve mediante el algoritmo de Risch , basado en el teorema de Liouville:

El teorema de Liouville . Si la integral de una función elemental es en sí misma una función elemental, entonces se puede representar como $y=\phi (x,z_{1},\puntos z_{r})$

\int \phi (x,z_{1}(x),\dots ,z_{r}(x))\,dx=\sum \limits _{i}A_{i}\ln(\psi _{i }(x,z_{1},\puntos z_{r}))+\psi _{0}(x,z_{1},\puntos,z_{r})+C,

donde son algunos números complejos y son funciones algebraicas de sus argumentos. $Ai}$ $\psi _{i}$

Liouville basó la demostración de este teorema en el siguiente principio. Si la integral de se toma en funciones elementales, entonces $y$

\int \phi (x,z_{1}(x),\dots z_{r}(x))\,dx=\psi (x,z_{1}(x),\dots z_{s}(x ))+\nombre del operador {const}

donde es una función algebraica, es el logaritmo o exponente de una función algebraica , etc. Las funciones son algebraicamente independientes y satisfacen algún sistema de ecuaciones diferenciales de la forma $\psi$ $z_{{r+1}}$ $x,z_{1},\puntos z_{r}$ $z_{1},\puntos z_{s}$

z_{1}'=\rho _{1}(x,z_{1},\puntos,z_{s}),\puntos

donde son funciones algebraicas de sus argumentos. Si es una familia de soluciones de este sistema, entonces $\rho _{i}$ $z_{1}=z_{1}(x,C),\puntos$

\int \phi (x,z_{1}(x,C),\puntos )\,dx=\psi (x,z_{1}(x,C),\puntos z_{s}(x,C) )+\nombre del operador {const}

dónde

\psi (x,z_{1}(x),\puntos)=\psi (x,z_{1}(x,C),\puntos z_{s}(x,C))+f(C)

Para algunas clases de integrales, este teorema facilita mucho el estudio de la solución en funciones elementales del problema de integración.

Integración de funciones del formulario $p(x)e^{{q(x)}}$

Corolario del teorema de Liouville (Ver Ritt, pp. 47 et seq.). Si la integral

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx,

donde son polinomios, se toma en funciones elementales, entonces $pag q$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}

donde también hay algún polinomio que satisface la ecuación diferencial $r(x)$

r'+q'(x)r=p(x)

ejemplo _ En particular, la integral

\int e^{{x^{2}}}\,dx

no se toma porque la sustitución

r=Ax^{n}+\puntos\quad (A\no =0)

en la ecuación

r'+2xr=1

da _ la integral $A=0$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx

tomado porque

r'+2xr=x

tiene solucion Al mismo tiempo, por supuesto, $r = 1/2$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx={\frac {e^{{x^{2}}}}{2}}+\operatorname {const}

Prueba del corolario . Por el teorema de Liouville

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,e^{{q(x)}})+\sum A_{i}\ln \ psi _{i}(x,e^{{q(x)}})+\nombre del operador {const}

Entonces, en virtud del principio de Liouville, para una constante arbitraria, tenemos $C$

\int p(x)Ce^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,Ce^{{q(x)}})+\sum A_{i}\ln \ psi _{i}(x,Ce^{{q(x)}})+f(C)

Derivando con respecto a y asumiendo , vemos que la integral se expresa algebraicamente en términos de , es decir $C$ $C=1$ $x,e^{{q(x)}}$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi (x,e^{{q(x)}}).

Nuevamente aplicando el principio de Liouville, tenemos

C\psi (x,e^{{q(x)}})=\psi (x,Ce^{{q(x)}})+f(C).

Derivando con respecto a y asumiendo , tenemos $C$ $C=1$

\psi (x,z)=z{\frac {\parcial \psi (x,z)}{\parcial z))+B\quad (B=\operatorname {const})

para , y por lo tanto, debido a la independencia algebraica de , para todo . Es por eso $z=e^{{q(x)}}$ $x,e^{{q(x)}}$ $x, z$

\psi(x,z)=-B+zr(x),

donde es alguna función algebraica . De este modo, $r$ $X$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}+\operatorname {const},

Dado que la integral en sí misma es obviamente una función completa , entonces es un polinomio. La consecuencia está probada. $X$ $r$

Integración de funciones algebraicas

La más difícil fue la cuestión de la integración en funciones elementales de funciones algebraicas, es decir, de tomar integrales abelianas , que es objeto de amplios estudios por parte de Weierstrass , Ptashitzky [2] y Risch [3] .

El teorema de Liouville es la base para la creación de algoritmos para la integración simbólica de funciones elementales, implementados, por ejemplo, en Maple .

Ver también: Lista de integrales de funciones elementales

Cálculo de límites

La teoría de Liouville no se extiende al cálculo de límites . No se sabe si existe un algoritmo que, dada la secuencia dada por la fórmula elemental, dé una respuesta, tenga límite o no. Por ejemplo, la cuestión de si la sucesión converge está abierta . [cuatro] ${\frac{1}{n^{3}\sen n}}$

Véase también

Teoría diferencial de Galois

Notas

↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 113-114..
↑ Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Arte. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901)
↑ Davenport J. Integración de funciones algebraicas. cap. 4. M., Mir, 1985
↑ Preguntas y respuestas

Literatura

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Khovansky A. G. Teoría topológica de Galois: solucionabilidad y no solucionabilidad de ecuaciones en forma final . cap. 1. M, 2007
Liouville J. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes (enlace inaccesible) // J. Reine Angew. Matemáticas. bd. 13, pág. 93-118. (1835)