Elipse Steiner

Hay una sola transformación afín que lleva un triángulo regular a un triángulo dado. La imagen del círculo inscrito de un triángulo regular bajo tal transformación es una elipse , que se llama elipse inscrita de Steiner , y la imagen del círculo circunscrito también es una elipse, que se llama elipse circunscrita de Steiner .

Definición de una elipse de Steiner inscrita

• En un triángulo se pueden inscribir un número infinito de elipses .
• Sin embargo, una sola elipse se puede inscribir en un triángulo que toca los lados en sus puntos medios. Tal elipse se llama elipse de Steiner inscrita . Su perspectiva será el baricentro del triángulo [1] .
• Para conocer la definición de la perspectiva de una cónica (incluida la elipse cónica), consulte a continuación.

Definición de la elipse circunscrita de Steiner

• Un número infinito de elipses se pueden circunscribir alrededor de un triángulo .
• Sin embargo, una sola elipse se puede describir cerca de un triángulo , que es tangente a las líneas que pasan por los vértices y paralela a los lados. Tal elipse se llama elipse de Steiner circunscrita .
• Los focos de la elipse de Steiner descrita se denominan puntos de Skutin .
• Los cevianos dibujados a través de los focos de la elipse de Steiner descrita ( puntos de Skutin ) son iguales ( teorema de Skutin ).

Transformación afín de la elipse de Steiner

Si mediante una transformación afín ("sesgo") traducimos un triángulo escaleno arbitrario en un triángulo regular , entonces sus elipses de Steiner inscritas y circunscritas se convertirán en círculos inscritos y circunscritos .

Definición de la perspectiva de una cónica

• En un triángulo se pueden inscribir infinitas cónicas ( elipses , parábolas o hipérbolas ).
• Si una cónica arbitraria se inscribe en un triángulo y los puntos de contacto se conectan a vértices opuestos, las líneas resultantes se intersecarán en un punto, llamado perspectiva de la cónica .
• Para cualquier punto del plano que no esté sobre un lado o sobre su prolongación, existe una cónica inscrita con perspectiva en este punto [2] .

Propiedades

• La elipse de Steiner inscrita tiene el área más grande entre todas las elipses inscritas en un triángulo dado, y la elipse circunscrita tiene el área más pequeña entre todas las descritas [3] .
• Una elipse de Steiner inscrita  es una elipse inscrita en un triángulo y tangente a sus lados en los puntos medios .

• ( Teorema de Marden ) Los focos de una elipse inscrita de Steiner son los puntos extremos de un polinomio de tercer grado con raíz en los vértices de un triángulo en el plano complejo.
• Las perspectivas de las parábolas inscritas en el triángulo se encuentran sobre la elipse circunscrita de Steiner [4] . El foco de la parábola inscrita se encuentra en el círculo circunscrito y la directriz pasa por el ortocentro [5] . Una parábola inscrita en un triángulo con la directriz de la línea de Euler se llama parábola de Kiepert . Su perspectiva  es el cuarto punto de intersección del círculo circunscrito y la elipse circunscrita de Steiner , llamado punto de Steiner .

Notas

1. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria - 2011. - Pág. 54.
2. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria.- 2011. - S. 108.
3. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria - 2011. - Pág. 55.
4. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria - 2011. - Pág. 110.
5. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria.- 2011. - S. 27-28.

Véase también

• teorema de marden
• Triángulo