Matriz de Hilbert

En álgebra lineal , la matriz de Hilbert (introducida por David Hilbert en 1894 ) es una matriz cuadrada H con entradas:

H_{ij}={\frac {1}{i+j-1)),i,j=1,2,3,...,n

Por ejemplo, una matriz de Hilbert de 5×5 es:

H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5 }}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}} &{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{ \frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1 {6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.

La matriz de Hilbert puede verse como obtenida a partir de integrales:

H_{{ij}}=\int_{{0}}^{{1}}x^{{i+j-2}}\,dx,

es decir, como en la matriz de Gram para las potencias de x . Surge al aproximar funciones por polinomios por el método de mínimos cuadrados .

Las matrices de Hilbert son un ejemplo estándar de matrices mal condicionadas , lo que las hace difíciles de calcular con métodos computacionalmente inestables . Por ejemplo, el número de condición relativo a la norma - para la matriz anterior es 4.8 · 10 5 . $\izquierda\|\cdot \derecha\|_{2}$

Historia

Hilbert (1894) introdujo la matriz de Hilbert mientras estudiaba la siguiente cuestión: “Supongamos que I = [ a , b ] es un intervalo real. ¿Es entonces posible encontrar un polinomio P distinto de cero con coeficientes enteros tales que la integral

\int _{a}^{b}P(x)^{2}\,dx

sería menor que cualquier número dado ε > 0?” Para responder a esta pregunta, Hilbert derivó una fórmula exacta para el determinante de las matrices de Hilbert y estudió sus asintóticas. Llegó a la conclusión de que la respuesta es positiva si la longitud del intervalo b − a < 4 .

Propiedades

La matriz de Hilbert es una matriz definida positiva simétrica . Además, la matriz de Hilbert es una matriz completamente positiva .

La matriz de Hilbert es un ejemplo de matriz de Hankel .

El determinante de la matriz de Hilbert se puede expresar explícitamente, como un caso especial del determinante de Cauchy . El determinante de una matriz de Hilbert n × n es

\det(H)={{c_{n}^{{\;4}}} \over {c_{{2n}}}},

dónde

c_{n}=\prod_{i=1}^{n-1}i^{ni}=\prod_{i=1}^{n-1}i!.

Ya Hilbert notó el hecho curioso de que el determinante de la matriz de Hilbert es el recíproco de un número entero (ver secuencia A005249 en OEIS ). Se sigue de la igualdad

{1 \over \det(H)}={{c_{{2n}}} \over {c_{n}^{{\;4}}}}=n!\cdot \prod _{{i=1 }}^{{2n-1}}{i \elegir [i/2]}.

Usando la fórmula de Stirling, podemos establecer el siguiente resultado asintótico:

\det(H)\aprox. a_{n}\,n^{{-1/4}}(2\pi )^{n}\,4^{{-n^{2}}}

donde an converge a una constante en , donde A es la constante de Glaisher-Kinkelin . $e^{{1/4}}2^{{1/12}}A^{{-3}}\aprox. 0,6450$ $n\rightarrow\infty$

La matriz inversa a la matriz de Hilbert se puede expresar explícitamente en términos de coeficientes binomiales :

(H^{{-1}})_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}(i+j-1){n+i-1 \elegir nj}{n+j -1 \elegir ni}{i+j-2 \elegir i-1}^{2}

donde n es el orden de la matriz. Por lo tanto, los elementos de la matriz inversa son números enteros. $H^{{-1}}$

El número de condición de una matriz de Hilbert n × n aumenta a medida que . $O((1+{\raíz cuadrada {2}})^{{4n}}/{\raíz cuadrada {n}})$

Véase también

La contribución de David Hilbert a la ciencia
espacios	Espacio de Hilbert Espacio pre-Hilbert ladrillo gilberto
axiomática	axiomática de hilbert
teoremas	Teorema de Hilbert 90 Teorema de la base de Hilbert Teorema nulo de Hilbert Teorema de Hilbert-Schmidt
Operadores	Transformada de Hilbert Operador de Hilbert-Schmidt
relatividad general	Ecuaciones de Einstein-Hilbert " Hilbert y las ecuaciones del campo gravitatorio "
Otro	problemas de hilbert curva de hilbert Matriz de Hilbert Problema de Hilbert-Arnold Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert Paradoja "Gran Hotel"

Enlaces

Hilbert, David (1894), Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms , Acta Mathematica (Springer Países Bajos). — T. 18: 155–159, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02418278 . Reimpreso en Hilbert, David. artículo 21 // Papeles recogidos (neopr.) . - T. II.
Beckerman, Bernard. El número de condición de las matrices reales de Vandermonde, Krylov y Hankel definidas positivas // Numerische Mathematik : diario. - 2000. - vol. 85 , núm. 4 . - Pág. 553-577 . -doi : 10.1007/ PL00005392 .
Choi, M.-D. Trucos o tratos con la matriz de Hilbert // American Mathematical Monthly : diario . - 1983. - vol. 90 , núm. 5 . - Pág. 301-312 . -doi : 10.2307/ 2975779 . — .
Tod, Juan. El número de condición del segmento finito de la matriz de Hilbert // Oficina Nacional de Normas, Serie de Matemáticas Aplicadas: revista. - 1954. - vol. 39 . - P. 109-116 .
Wilf, HS Secciones finitas de algunas desigualdades clásicas . - Heidelberg: Springer, 1970. - ISBN 3-540-04809-X .