Una serie de cuadrados inversos.

Una serie de cuadrados inversos es una serie infinita :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ fracción {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\puntos

El problema de encontrar la suma de esta serie permaneció sin resolver durante mucho tiempo. Dado que la atención de los matemáticos europeos sobre este problema fue atraída por el profesor de matemáticas de Basilea Jacob Bernoulli (1689), en la historia a menudo se le llama el " problema de Basilea " (o " problema de Basilea "). El primero en encontrar la suma de la serie en 1735 fue Leonhard Euler de 28 años , resultó ser igual a

{\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\dots

(Ver secuencia OEIS A013661 ).

Esta suma se da en muchos otros problemas de teoría de números .

La solución de este problema (y otros relacionados) no solo le dio fama mundial al joven Euler [1] , sino que también tuvo un impacto significativo en el desarrollo posterior del análisis , la teoría de números y, posteriormente , el análisis complejo . Una vez más (después del descubrimiento de la serie de Leibniz ) , el número fue más allá de la geometría y confirmó su universalidad. Finalmente, la serie del cuadrado inverso resultó ser el primer paso hacia la introducción de la función zeta de Riemann [2] . Euler mismo comenzó este camino, habiendo considerado una generalización de la serie del cuadrado inverso - una serie para una potencia par arbitraria s , y también derivando la identidad fundamental de Euler : $\Pi$

{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ fracción {1}{4^{s}}}+\puntos ={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s} }}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1 -11^{-s}}}\cdot \puntos

El producto del lado derecho se toma sobre todos los números primos .

Historia

Los historiadores descubrieron por primera vez el razonamiento sobre una serie de cuadrados inversos en la disertación del matemático italiano Pietro Mengoli ( Novae quadraturae arithmeticae seu de addedefractionum , 1644, publicada en 1650), pero entonces el problema no despertó el interés general. Mengoli determinó que la serie converge y encontró la suma de los primeros 10 términos [3] :

{\frac {1968329}{1270080}}\aproximadamente 1{,}54977.

Más tarde, muchos matemáticos eminentes intentaron sin éxito encontrar la suma de la serie, incluidos Leibniz , Stirling , de Moivre , Christian Goldbach , los hermanos Jacob y Johann Bernoulli . También calcularon varios dígitos significativos de la suma de la serie. Goldbach demostró que la suma está contenida en el intervalo (41/25; 5/3), Stirling en el tratado Methodus Differentialis (1730) logró calcular un valor bastante exacto de la suma: 1.644934066, pero nadie pudo determinar con exactitud cuál es este valor. el valor fue puede estar relacionado [3] [4] [5] .

Jacob Bernoulli instó en sus Proposiciones aritméticas sobre series infinitas (1689): "Si alguien logra encontrar algo que hasta ahora no ha cedido a nuestros esfuerzos, y si nos lo comunica, entonces estaremos muy en deuda con él" [ 2 ] [6] . Pero durante la vida de Jacob Bernoulli, la solución no apareció.

Euler fue el primero en triunfar , casi medio siglo después de la conversión de Bernoulli. Lo más probable es que Johann Bernoulli, el hermano de Jacob, le haya contado a Euler sobre este problema. Euler informó del descubrimiento en la nota "Sobre sumas de series inversas" ( De summis serierum reciprocarum , 1735) [7] para la revista "Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae" de la Academia de Ciencias de San Petersburgo . Euler también informó del valor de la suma encontrada por él en una carta a su amigo Daniel Bernoulli , el hijo de Johann Bernoulli [8] :

Recientemente encontré, y bastante inesperadamente, una expresión elegante para la suma de una serie relacionada con la cuadratura de un círculo... A saber, la suma séxtuple de esta serie es igual al cuadrado del perímetro de un círculo cuyo diámetro es 1.

Daniel le dijo a su padre, quien expresó dudas sobre la validez de la expansión del seno de Euler en un producto infinito (ver más abajo ). Por ello, en 1748, Euler justificó el resultado de forma más rigurosa en su monografía Introducción al análisis de los infinitesimales ( Introductio in analysin infinitorum , Tomo I, Capítulo X) [9] .

Como señala John Derbyshire , la segunda aparición (después de la serie de Leibniz ) de un número en un contexto inesperado y completamente no geométrico causó una fuerte impresión en los matemáticos del siglo XVIII [10] . $\Pi$

Como control, Euler calculó manualmente la suma de la serie de 20 dígitos (aparentemente usando la fórmula de Euler-Maclaurin , ya que la serie del inverso del cuadrado converge con bastante lentitud). Luego comparó la suma con el valor utilizando el valor aproximado del número ya conocido en ese momento , y se aseguró de que ambos valores, dentro de la precisión de la cuenta, coincidieran. Posteriormente (1743) Euler publicó otras dos formas diferentes de sumar una serie de cuadrados inversos [11] . ${\frac {\pi^{2}}{6)),$ $\Pi$

Convergencia de series

Para verificar que la serie del inverso del cuadrado converge, basta probar que la siguiente serie converge [12] :

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\dots

Esta serie mayoriza la serie del cuadrado inverso, porque cada término en ella (excepto el primero) es mayor que en la serie del cuadrado inverso. Se puede representar como una suma telescópica :

1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right )+\izquierda({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\derecha)+\puntos

La suma parcial de esta serie es por lo tanto la serie converge, y su suma es igual a 2. Por tanto, por criterio de comparación , y la serie de cuadrados inversos converge a algún número en el intervalo (1, 2) [12] . $S_{n}$ $2-{1 \sobre n},$

Para estimar la tasa de convergencia de sumas parciales, se puede usar la fórmula

{\frac {1}{m+1}}=\int \limits _{m+1}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}<\ sum _{n=m+1}^{\mathcal {\infty}}{\frac {1}{n^{2}}}<\int \limits _{m}^{\infty}{{\frac {1}{t^{2}}}dt}={\frac{1}{m}}.

La suma en el medio de la fórmula es la diferencia entre la serie y su suma parcial, es decir, el error absoluto de la suma parcial. De la fórmula se puede ver que la convergencia de la serie es bastante lenta: los primeros mil términos de la serie ( ) dan un error de orden , es decir, en el tercer lugar decimal. Para obtener 6 signos correctos, debe agregar un millón de miembros de la serie [13] . $metro$ ${\ estilo de visualización m = 1000}$ $10^{-3}$

En 1988, Roy D. North de Colorado Springs calculó la suma de un millón de términos de una serie de cuadrados inversos en una computadora y descubrió un patrón extraño: el sexto lugar decimal, como era de esperar, es erróneo, pero los siguientes 6 dígitos son correctos Luego, un carácter es incorrecto y, después, cinco dígitos vuelven a ser correctos:

Suma total de filas ( ) ${\ estilo de visualización \ pi ^ {2}/6}$	1.64493 4 066848 2 26436 472415166646025189218949901…
Suma parcial de un millón de miembros	1.64493 3 066848 7 26436 305748499979391855885616544…
Error	0.00000099999950000016666666666666333333333333357…

Este error se puede representar como la suma

10^{-6}-{\frac {1}{2}}10^{-12}+{\frac {1}{6}}10^{-18}-{\frac {1} {30}}10^{-30}+{\frac{1}{42}}10^{-42}+\puntos\,,

en el que los coeficientes en potencias de 10 son los números de Bernoulli [13] . La prueba de este hecho puede encontrarse en el artículo de 1989 de Borwein, Borwein y Dilcher [14] .

Primer método de Euler para encontrar la suma de una serie

A fines del siglo XVII, gracias al trabajo de Newton y otros matemáticos, se conoció la expansión en serie de la función seno :

\sen x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} {7!}}+\puntos

Euler logró obtener otra expansión del seno, no en una suma, sino en un producto infinito [15] :

\sin x=x\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^ {2}}{4\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \ izquierda(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\derecha)\cdot \dots

Igualando ambas expresiones y reduciendo por se puede obtener: $X,$

\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4\ pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{ 4}}{5!}}-{\frac{x^{6}}{7!}}+\puntos

(una)

Dado que esta identidad se cumple para todo , los coeficientes de en ambas partes deben ser iguales: $X,$ $x^{2}$

-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2 ))}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\puntos =-{\frac {1}{6}}.

Multiplicando ambos lados de la igualdad por finalmente podemos obtener [16] : ${\ estilo de visualización - \ pi ^ {2},}$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ fracción {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\puntos ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

El método enunciado se basa en la expansión del seno en un producto infinito, sin embargo, Euler no dio una justificación adecuada a esta expansión, limitándose a referirse a que tanto la parte izquierda como la derecha, consideradas como polinomios , tienen la misma raíces: Johann y Daniil Bernoulli señalaron la incorrección de tal derivación, ya que solo se aplica a polinomios de grado finito, y no a series infinitas. En este sentido, Euler publicó varios métodos más de suma, justificados de manera más estricta y que conducen al mismo resultado [11] . Sin embargo, la expansión especificada resultó ser cierta y posteriormente se probó [17] . $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\pm 4\pi \dots$

Segundo método de Euler

En 1741, Euler tuvo en cuenta las críticas anteriores a su método original y publicó otro método de suma basado en la integración de series [18] . Para ello, consideramos una integral de la forma

E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx}=\int \limits_{ 0}^{1}{\arcsen x\ d\arcsen x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.

Para calcular la integral, puedes usar la expansión del arcoseno en una serie en el intervalo : $[0,1]$

\arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!))\cdot {\frac {x^{ 2n+1}}{2n+1}}.

Esta serie converge uniformemente y se puede integrar término a término:

E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx+\sum _{n=1}^{\ infinito }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1} }{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx.

La primera integral es , y la segunda después de la sustitución resulta ser igual a partir de aquí: $una$ ${\ estilo de visualización x = \ sen t}$ ${\textstyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!)),}$

E=1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1}{(2n+1)^{2))}=\sum_{n=1}^{\ infinito }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}.

Esta suma contiene los cuadrados inversos de los números impares. La suma requerida de la serie de cuadrados inversos consta de dos partes, la primera de las cuales es igual y la segunda contiene los cuadrados inversos de los números pares: $S$ $MI,$

S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+ {\frac {1}{4^{2}}}+\puntos =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{ \frac {1}{6^{2}}}+\puntos ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S.

Ahí es donde ${3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8)),$ $S={\frac {\pi^{2}}{6}}.$

Formas alternativas de encontrar la suma

Serie de Fourier

Uno de los métodos más simples para obtener esta suma es usar la expansión de la función en serie de Fourier . Para una función par, esta expansión tiene la forma [19] $f(x)=x^{2}$

f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx.

Los coeficientes se calculan según fórmulas estándar: $un$

a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \ sobre 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=( -1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}.

Como resultado, la descomposición toma la forma [19]

x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}{\frac {4\cos( nx)}{n^{2}}}.

Sustituyendo un valor en esta fórmula da el resultado $x=\pi$

\pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(- 1)^{n}}{n^{2}}},

{2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))}.

El resultado final se obtiene [19] dividiendo ambos lados por 4.

Si, en lugar de sustituir , obtienes una suma alterna: $x=\pi$ $x=0,$

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ fracción {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\puntos ={\pi ^{2} \sobre 12}.

Otra forma de resolver el problema a través del análisis de Fourier es usar la igualdad de Parseval para la función ${\ estilo de visualización f (x) = x.}$

Método de descomposición de la cotangente hiperbólica

Este método te permite encontrar las sumas de todas las series de potencias pares inversas:

S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n))}.

Se basa en dos fórmulas de expansión para la cotangente hiperbólica . El primero [20] es válido para : ${\ estilo de visualización | x | <1}$

\pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}S_{2n}x ^{2n}.

La segunda fórmula [21] relaciona la cotangente hiperbólica con los números de Bernoulli : $B_{n}$

\pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n }}{(2n)!}}x^{2n}

Igualar los coeficientes a las mismas potencias da una fórmula para conectar las sumas de la serie con los números de Bernoulli: $X$

B_{n}=(-1)^{n-1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n))}S_{2n}.

En particular, el resultado inicial se obtiene al considerar tener en cuenta $n=1$ ${\textstyle B_{1}={1 \sobre 6}.}$

Otros enfoques

En el artículo de K. P. Kokhas [16] , se dan varias formas diferentes de sumar una serie: mediante integrales , residuos complejos , función gamma , expansión del arcoseno o cotangente , elevando al cuadrado la serie de Leibniz . En el artículo de Chapman [22] se presenta otra colección de métodos de suma .

Una interesante representación físico-geométrica de la suma de una serie de cuadrados inversos se presenta en un artículo de Johan Westlund [23] y en una videoconferencia en el canal de YouTube 3Blue1Brown [24] .

Variaciones y generalizaciones

Basándose en la fórmula ( 1 ), Euler calculó las sumas no solo para una serie de cuadrados inversos, sino también para series de otras potencias pares, hasta la 26, por ejemplo [2] :

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ fracción {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\puntos ={\frac {\pi ^{4}}{90}}),

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ fracción {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\puntos ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

etc. Euler también descubrió que las sumas de tales series están relacionadas con los números de Bernoulli de la siguiente manera [9] : $B_{{n}}$

S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}.

Euler también resumió una modificación de una serie de cuadrados inversos que contenían (en denominadores) cuadrados u otras potencias pares de números impares [25] ; las sumas de las series resultaron estar también relacionadas con el número $\Pi.$

Para series de potencias impares, aún no se conoce la expresión teórica de sus sumas. Sólo se ha demostrado que la suma de una serie de cubos inversos ( constante de Aperi ) es un número irracional [2] .

Si consideramos el exponente en la serie general de potencias inversas como una variable (no necesariamente un número entero), entonces obtenemos la función zeta de Riemann , que juega un papel muy importante en el análisis y la teoría de números:

\zeta(s)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{s))}.

Entonces la suma de la serie del cuadrado inverso es ${\ estilo de visualización \ zeta (2).}$

Los primeros estudios de las propiedades de la función zeta fueron realizados por Euler. En 1748 publicó la monografía "Introducción al análisis de los infinitesimales", donde demostró la " identidad de Euler " [26] :

\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{s}}}=\prod_{p}{\frac {1}{1-p^{- s}}},

donde el producto se toma sobre todos los números primos Esta igualdad jugó un papel importante en el desarrollo de la teoría analítica de números , se basó en los estudios de Chebyshev y Riemann sobre la distribución de números primos en la serie natural. En 1859 apareció el profundo trabajo de Riemann que extendía la definición de la función zeta al dominio complejo . Riemann consideró en detalle la conexión de la función zeta con la distribución de números primos [26] . $pags.$

En 1768, Euler propuso otra generalización de la serie del cuadrado inverso, el dilogaritmo de Euler [27] :

\operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t))\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}} {3^{2}}}+\puntos

Algunas aplicaciones

La suma de una serie de cuadrados inversos, también aparece en muchos problemas de teoría de números. ${\ estilo de visualización \ zeta (2),}$

La suma de divisores de un número natural crece en promedio [28] como una función lineal . $norte$ ${\ estilo de visualización \ zeta (2) \ cdot N}$

La probabilidad de que dos números naturales elegidos al azar en el intervalo de 1 resulten ser coprimos tiende a En otras palabras, la densidad promedio de números coprimos en la serie numérica [29] es igual a $norte$ $norte$ ${\estilo de texto 1/\zeta(2).}$ ${\estilo de texto 1/\zeta(2).}$

Sea el número de números naturales libres de cuadrados en el rango de 1 a Satisface la fórmula aproximada [30] [31] [32] $q(x)$ $X.$

Q(x)\approx {\frac {x}{\zeta (2)))

Función de Euler acumulativa

\Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} ,

donde es la función de Euler , tiene las siguientes asintóticas [33] : $\varfi (n)$

\Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}\cdot n^{2}+O\left(n\log n\right).

Notas

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Enlaces

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Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux