Grupo tipo mentira

La frase grupo de tipo Lie suele significar un grupo finito , que está estrechamente relacionado con el grupo de puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo con valores en un campo finito . El término "grupo de tipo Lie" no tiene una definición precisa generalmente aceptada [1] , pero un conjunto importante de grupos finitos simples de tipo Lie tiene una definición precisa y constituyen la mayoría de los grupos en la clasificación de grupos finitos simples .

El nombre "grupos de tipo Lie" refleja la estrecha conexión con los grupos de Lie (infinitos) , ya que el grupo de Lie compacto puede considerarse como puntos racionales de grupos algebraicos lineales reducidos sobre el campo de los números reales .

Grupos clásicos

La primera aproximación a esta cuestión fue la definición y estudio detallado de los llamados grupos clásicos sobre campos de Jordan finitos y otros [2] . Estos grupos fueron estudiados por Leonard Dixon y Jean Dieudonné . Emil Artin investigó las órdenes de tales grupos para clasificar las coincidencias.

El grupo clásico es, en términos generales, un grupo especial lineal , ortogonal , simpléctico o unitario . Hay varias variaciones menores de estos grupos, que se obtienen tomando subgrupos derivados o grupos de factores centrales , lo que da grupos lineales proyectivos . Los grupos se pueden construir sobre campos finitos (o cualquier otro campo) de la misma manera que se construyen sobre números reales. Corresponden a las series A n , B n , C n , D n , 2 A n , 2 D n de los grupos Chevalley y Steinberg [3] .

Grupos de Chevalley

Los grupos de Chevalley son básicamente grupos de Lie sobre campos finitos. La teoría fue considerada en detalle en la teoría de los grupos algebraicos y en los trabajos de Chevalley [4] sobre la teoría de las álgebras de Lie , a través de los cuales se distinguió el concepto de grupos de Chevalley . Chevalley construyó una base de Chevalley (similar a las formas enteras, pero sobre campos finitos) para todas las álgebras de Lie simples complejas (o más bien sus álgebras envolventes universales ) que se pueden usar para definir los grupos algebraicos correspondientes sobre los números enteros. En particular, podría tomar puntos con valores en cualquier campo finito. Para las álgebras de Lie A n , B n , C n y D n esto da los conocidos grupos clásicos, pero su construcción también da los grupos asociados con las excepcionales álgebras de Lie E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 . Dixon ya había construido uno de los grupos de tipo G 2 (a veces llamados grupos Dixon ) en 1905 [5] y uno de tipo E 6 en 1961 [6] .

Grupos de Steinberg

La construcción de Chevalley no proporciona todos los grupos clásicos conocidos: quedan grupos unitarios y grupos ortogonales no divididos . Steinberg [7] encontró una modificación de la construcción de Chevalley que da estos grupos y dos nuevas familias 3 D 4 y 2 E 6 . La segunda de estas familias fue descubierta casi al mismo tiempo, desde un punto de vista completamente diferente, por Tits [8] . Esta construcción generaliza la construcción habitual de un grupo unitario a partir de un grupo lineal general.

Un grupo unitario surge de la siguiente manera: un grupo lineal general sobre números complejos tiene un automorfismo de diagrama , que viene dado por invertir el diagrama de Dynkin A n (que corresponde a obtener la matriz transpuesta inversa), y un automorfismo de campo , que viene dado por complejo conjugación _ El grupo unitario es el grupo de punto fijo del producto de estos dos automorfismos.

De la misma manera, muchos grupos de Chevalley tienen diagramas de automorfismos generados por automorfismos de sus diagramas de Dynkin y automorfismos de campo generados por automorfismos de un campo finito. Por analogía con el caso de los grupos unitarios, Steinberg construyó una familia de grupos tomando los puntos fijos del producto de un automorfismo de diagrama y un automorfismo de campo.

Esto da:

Los grupos de tipo 3 D 4 no tienen análogos sobre los números reales, ya que los números complejos no tienen un automorfismo de orden 3. Las simetrías del diagrama D 4 generan Trinity .

Grupos Suzuki-Rie

Michio Suzuki [9] encontró nuevas series infinitas de grupos que, a primera vista, no están relacionados con los grupos algebraicos conocidos. Rimhak Rhee [10] [11] sabía que el grupo algebraico B 2 tiene un automorfismo "complementario" de característica 2 cuyo cuadrado tiene un endomorfismo de Frobenius . Encontró que si un campo finito de característica 2 también tiene un automorfismo cuyo cuadrado tiene un mapa de Frobenius, entonces un análogo de la construcción de Steinberg da grupos de Suzuki. Los campos con tal automorfismo son campos de orden 2 2 n + 1 y los grupos correspondientes son grupos Suzuki

2 B 2 (2 2 n +1 ) = Suz (2 2 n +1 ).

(Estrictamente hablando, el grupo Suz(2) no se considera un grupo Suzuki, ya que no es simple - es un grupo Frobenius de orden 20.). Ree pudo encontrar dos nuevas familias.

2 F 4 (2 2 n +1 )

y

2 G 2 (3 2 n +1 )

grupos simples, utilizando el hecho de que F 4 y G 2 tienen automorfismos adicionales con las características 2 y 3. (En términos generales, con la característica p , se pueden ignorar las flechas en los bordes de la multiplicidad p en los diagramas de Dynkin). Grupos más pequeños 2 F 4 (2) de tipo 2 F 4 no son simples, sino que tienen subgrupos simples con índice 2, llamados grupos de Tetas (llamado así por el matemático Jacques Tetas ). El grupo más pequeño 2 G 2 (3) de tipo 2 G 2 no es simple, pero tiene un subgrupo normal simple de índice 3 isomorfo a A 1 (8).

En la clasificación de grupos finitos simples, grupos de Ree

2 G 2 (3 2 n +1 )

Son grupos cuya estructura es difícil de explicar explícitamente. Estos grupos jugaron un papel importante en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Los grupos tienen centralizadores de involución de la forma Z /2 Z × PSL(2, q ) para q = 3 n , y al estudiar grupos con un centralizador de involución de la forma Z /2 Z × PSL(2, 5), Janko encontró un grupo esporádico J 1 .

Los grupos de Suzuki son solo grupos simples finitos no abelianos con orden no divisible por 3. Tienen orden 2 2(2 n +1) (2 2(2 n +1) + 1)(2 (2 n +1) −1 ) .

Conexión con grupos simples finitos

Los grupos finitos de tipo Lie estuvieron entre los primeros grupos considerados por los matemáticos, después de los grupos cíclicos , simétricos y alternos . Los grupos lineales especiales proyectivos sobre campos finitos simples PSL(2, p ) fueron construidos por Évariste Galois en la década de 1830. El estudio sistemático de grupos finitos de tipo Lie comenzó con el teorema de Camille Jordan de que el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, q ) es primo para . Este teorema se generaliza a grupos proyectivos de mayores dimensiones y da una importante familia infinita PSL( n , q ) de grupos finitos simples . Leonard Dixon estudió otros grupos clásicos a principios del siglo XX. En la década de 1950, Claude Chevalley se dio cuenta de que, después de una reformulación adecuada, muchos teoremas sobre grupos de Lie semisimples admiten un análogo para grupos algebraicos sobre un campo arbitrario k , lo que llevó a la construcción de los grupos ahora conocidos como grupos de Chevalley . Además, como en el caso de los grupos de Lie simples compactos, los grupos correspondientes resultan ser casi simples como grupos abstractos ( teorema de simplicidad de Tits ). Aunque ya en el siglo XIX se sabía que existían otros grupos simples finitos (por ejemplo , los grupos de Mathieu ), se desarrolló gradualmente la creencia de que casi todos los grupos simples finitos podían enumerarse, con una extensión adecuada de la construcción de Chevalley, junto con grupos cíclicos y alternos. grupos Además, las excepciones, los grupos esporádicos , tienen muchas propiedades en común con los grupos finitos de tipo Lie y, en particular, pueden construirse y describirse a partir de su geometría en el sentido de Tits.

Esta confianza se convirtió en un teorema: la clasificación de grupos finitos simples . Un examen de la lista de grupos simples finitos muestra que los grupos de tipo Lie sobre un campo finito incluyen todos los grupos simples finitos distintos de los grupos cíclicos, los grupos alternos, el grupo de Tits y los 26 grupos simples esporádicos .

Pequeños grupos de tipo Lie

En general, un grupo finito asociado con un endomorfismo por un grupo algebraico simple simplemente conexo es una extensión central universal del grupo simple, por lo que es un grupo perfecto (es decir, igual que su conmutador ) y tiene un trivial multiplicador de Schur . Sin embargo, algunos de los grupos más pequeños de las familias anteriores no son perfectos o tienen un multiplicador de Schur mayor que el "esperado".

Casos donde el grupo no es perfecto

Casos en los que el grupo es perfecto pero el multiplicador de Schur es mayor de lo esperado (debajo de la frase " El multiplicador de Schur tiene un grupo de factor adicional...), de modo que el multiplicador de Schur de un grupo simple tiene el orden de... y no. .. " se abrevia a " El multiplicador de Schur tiene ..., el orden de ... y no ... " ):

Hay una serie de isomorfismos "aleatorios" confusos entre varios grupos pequeños de tipo Lie (y grupos alternos). Por ejemplo, los grupos SL(2, 4), PSL(2, 5) y el grupo alternante de 5 elementos son isomorfos.

Para obtener una lista completa de estas excepciones, consulte Lista de grupos simples finitos . Muchas de estas propiedades especiales están asociadas con ciertos grupos esporádicos simples.

Los grupos alternos a veces se comportan como si fueran grupos de tipo Lie sobre un campo con un elemento . Algunos de los pequeños grupos alternos también tienen propiedades excepcionales. Los grupos alternos suelen tener un grupo de automorfismos exterior de orden 2, pero un grupo alternante de 6 elementos tiene un grupo de automorfismos exterior de orden 4 . Los grupos alternos suelen tener un multiplicador de Schur de orden 2, pero los grupos de 6 o 7 elementos tienen un multiplicador de Schur de orden 6 .

Problemas de notación

Desafortunadamente, no existe una notación establecida para grupos finitos de tipo Lie, y la literatura contiene docenas de sistemas de notación incompatibles y confusos para estos grupos.

Véase también

Notas

  1. ↑ Discusión de desbordamiento matemático . Consultado el 23 de agosto de 2017. Archivado desde el original el 9 de marzo de 2017.
  2. ↑ Jordania, 1870 .
  3. ↑ En la literatura en idioma ruso, la lectura de Steinberg es más común, pero no hay consenso sobre la lectura de este apellido, en un artículo puedes encontrar lecturas de Steinberg y Steinberg al mismo tiempo.
  4. ↑ Chevalley, 1955 .
  5. ↑ Dickson, 1905 .
  6. ↑ Dickson, 1901 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Tetas, 1958 .
  9. ↑ Suzuki, 1960 .
  10. ↑ Rey, 1960 .
  11. ↑ Rey, 1961 .
  12. ↑ 1 2 ATLAS , pág. xi Archivado el 21 de septiembre de 2013 en Wayback Machine .

Literatura