Un politopo isogonal o de vértice transitivo es un politopo cuyos vértices son equivalentes. En particular, todos los vértices están rodeados por el mismo tipo de facetas en el mismo orden (o al revés) y con los mismos ángulos entre las respectivas caras. El término también se puede aplicar a polígonos o mosaicos , etc.
Formalmente, decimos que para dos vértices cualesquiera hay una simetría de politopo que asigna el primer vértice isométricamente al segundo. Otra forma de decir lo mismo es que el grupo de automorfismos de un politopo es transitivo en sus vértices , o que los vértices se encuentran dentro de la misma órbita de simetría .
Todos los vértices de una figura isogonal de dimensión n finita existen en una esfera (n-1) .
El término isogonal se ha utilizado durante mucho tiempo en el contexto de los poliedros. El término transitivo de vértice es un sinónimo tomado de las ideas modernas de grupos de simetría y teoría de grafos .
La cúpula girada de cuatro lados , que no es isogonal, demuestra que la afirmación "todos los vértices tienen el mismo aspecto" no es tan restrictiva como la definición anterior, que implica un grupo de isometría que conserva un poliedro o mosaico.
| Infinitos isogonales |
|---|
| Infinito espacial isogonal |
Todos los polígonos regulares , infinitos y polígonos regulares en estrella son isogonales . La figura dual de un polígono isogonal es un polígono isotoxal .
Algunos polígonos con un número par de lados e infinitos con longitudes alternas de dos lados, como un rectángulo , son isogonales .
Todos los 2n-ágonos planos isogonales tienen simetría diédrica (D n , n =2,3,...) con ejes de simetría a través de los puntos medios de los lados.
| D2 _ | D3 _ | D4 _ | D7 _ |
|---|---|---|---|
Los rectángulos isogonales y los rectángulos cruzados tienen la misma disposición de vértices |
Hexagrama isogonal con 6 vértices idénticos y dos longitudes de borde [1] |
Octágono convexo isogonal con ejes de simetría radial azul y rojo |
Un cuadradecágono "estrella" isogonal con un tipo de vértice y dos tipos de aristas [2] . |
| Mosaico cuadrado deformado |
| Mosaico cuadrado truncado deformado |
Un poliedro isogonal (3D) y un mosaico 2D tienen una vista de un solo vértice. Un poliedro isogonal con caras regulares también es un poliedro uniforme y se puede representar mediante notación de configuración de vértice , enumerando las caras alrededor de cada vértice en secuencia. Las variantes geométricamente deformadas de poliedros y mosaicos uniformes también se pueden especificar mediante una configuración de vértice.
Poliedros isogonales (3D)| D 3d , orden 12 | Jue , orden 24 | O h , pedido 48 | |
|---|---|---|---|
| 4.4.6 | 3.4.4.4 | 4.6.8 | 3.8.8 |
Prisma hexagonal deformado |
Rombicuboctaedro deformado |
Cuboctaedro ligeramente truncado |
Cubo supertruncado |
Los politopos 3D isogonales y los mosaicos 2D se pueden clasificar aún más
Las definiciones de figuras isogonales se pueden extender a politopos y panales de dimensiones superiores . En general, todos los poliedros uniformes son isogonales , como los 4 politopos uniformes y los panales uniformes convexos .
El politopo dual para un politopo isogonal es isotópico , es decir, faceta transitiva .
Se dice que un politopo o panal es k-isogonal si sus vértices forman k clases de transitividad. Un término más restrictivo, k-homogéneo se define como una figura k-isogonal que consta solo de polígonos regulares . Pueden ser representados visualmente por diferentes colores de coloración uniforme .
Este dodecaedro rómbico truncado es 2-isogonal porque contiene dos clases de transitividad de vértice. Este poliedro está formado por cuadrados y hexágonos achatados . |
Este mosaico semirregular también es 2-isogonal (y 2-homogéneo ). Este mosaico consta de caras triangulares regulares y hexagonales regulares. |
Eneagrama 2-isogonal 9/4 |