Un poliedro , polígono o mosaico es isotoxal o de arista transitiva si sus simetrías actúan transitivamente sobre sus aristas. Informalmente, esto significa que solo hay un tipo de borde para un objeto: dados dos bordes, hay una traslación, rotación y/o reflejo que traslada un borde a otro sin cambiar el área ocupada por el objeto.
El término isotoxal proviene del griego τοξον , que significa arco .
Un polígono isotoxal es siempre equilátero , pero no todos los polígonos equiláteros son isotoxal. Los duales de polígonos isotoxales son polígonos isogonales .
En general, un isotoxal 2n - gon tendrá D n (*nn) simetría diédrica . El rombo es un polígono de borde transitivo con simetría D 2 (*22).
Todos los polígonos regulares ( triángulo regular , cuadrado , etc.) son isotoxales y tienen el doble del orden mínimo de simetría: un n - gon regular tiene simetría diédrica D n (*nn). Un 2 n -gon regular es un polígono de vértice transitivo y sus vértices se pueden etiquetar alternativamente con dos colores, lo que elimina la simetría axial en el medio de los bordes.
| D2 ( * 22) | D3 ( *33) | D4 ( *44) | D5 ( *55) | |||||
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| Rombo | Triángulo equilátero | hexágono cóncavo | Hexágono autointersecante | octágono convexo | pentágono regular | Pentagrama de autointersección (regular) | decagrama de auto-intersección | |
Los poliedros regulares son isoédricos (transitivos de caras), isogonales (transitivos de vértices) e isotoxales (transitivos de aristas). Los politopos cuasi -regulares son isogonales e isotoxales, pero no isoédricos. Sus poliedros duales son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.
Poliedro cuasiregular |
Poliedro dual cuasi regular |
Poliedro estrellado cuasi regular |
Poliedro cuasi-regular de doble estrella |
Mosaico cuasi- regular |
Azulejos duales casi regulares |
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El cuboctaedro es un poliedro isogonal e isotoxal |
El dodecaedro rómbico es un poliedro isoédrico e isotoxal |
El gran icosidodecaedro es un poliedro estrellado isogonal e isotoxal. |
Gran rómbico de treinta lados |
El mosaico trihexagonal es mosaico isogonal e isotoxal |
El teselado rómbico es un teselado isoédrico e isotoxal con simetría p6m (*632). |
No todos los poliedros o mosaicos bidimensionales que consisten en polígonos regulares son isotoxales. Por ejemplo, un icosaedro truncado (que nos resulta familiar por un balón de fútbol) tiene dos tipos de aristas: un hexágono-hexágono y un hexágono-pentágono, y no hay forma de convertir la arista hexágono-hexágono en un hexágono-pentágono por simetría. .
Un polígono isotoxal tiene los mismos ángulos diedros para todos los bordes.
Hay nueve poliedros transitivos de borde convexo formados a partir de poliedros regulares , 8 formados a partir de poliedros de Kepler-Poinsot , y seis más son poliedros en estrella cuasi-regulares (3 | pq) y sus duales.
Hay 5 mosaicos poligonales de borde transitivo en el plano euclidiano e infinitos en el plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff de mosaicos hiperbólicos regulares {p, q} y grupos irregulares (pqr).