Triangulo de garza

Un triángulo heroniano es un triángulo cuyos lados y área son números enteros [1] [2] . Los triángulos heronianos llevan el nombre del matemático griego Heron . El término a veces se entiende algo más amplio y se extiende a triángulos que tienen lados y área racionales [3] .

Propiedades

Todos los triángulos rectángulos, cuyos lados forman ternas pitagóricas , son heronianos, ya que sus lados son enteros por definición , y el área también es entera, ya que es la mitad del producto de los catetos, uno de los cuales tiene necesariamente una longitud par.

Un ejemplo de triángulo heroniano que no tiene ángulo recto es un triángulo isósceles de lados 5, 5 y 6 cuya área es 12. Este triángulo se obtiene uniendo dos triángulos rectángulos de lados 3, 4 y 5 por un lado de longitud 4. Este enfoque funciona en el caso general, como se muestra en la figura de la derecha. Tome un triple pitagórico ( a , b , c ), donde c es el lado más grande, luego otro triple ( a , d , e ), en el cual el lado más grande es e , los triángulos se construyen de acuerdo con las longitudes de los lados dadas y se combinan a lo largo el lado con longitud a , obteniendo un triángulo con lados c , e y b + d y área

A={\frac{1}{2}}(b+d)a

(la mitad de la base por la altura).

Si a es par, entonces el área será un número entero. Menos obvio es el caso cuando a es impar, pero en este caso A sigue siendo entero, ya que los lados b y d deben ser números pares, y por lo tanto b + d también serán pares.

Algunos triángulos heronianos no se pueden obtener combinando triángulos rectángulos con lados enteros utilizando el método descrito anteriormente. Así, por ejemplo, de dos triángulos pitagóricos no se puede obtener un triángulo heroniano de lados 5, 29, 30 y área 72, ya que ninguna de sus alturas es un número entero. También es imposible construir un triángulo pitagórico primitivo a partir de dos triángulos pitagóricos más pequeños [4] . Estos triángulos heronianos se denominan indescomponibles [4] . Sin embargo, si permitimos ternas pitagóricas con valores racionales, negándose a ser integrales, entonces siempre existe una partición en dos triángulos rectángulos con lados racionales [5] , ya que todas las alturas del triángulo heroniano son números racionales (ya que la altura es igual al doble del área dividida por la base, y ambos números son enteros). Por lo tanto, el triángulo heroniano con lados 5, 29, 30 se puede obtener a partir de triángulos pitagóricos racionales con lados 7/5, 24/5, 5 y 143/5, 24/5, 29. Tenga en cuenta que las ternas pitagóricas racionales son simplemente versiones de tripletes pitagóricos enteros divididos por un número entero.

Otras propiedades de los triángulos de Heronian se pueden encontrar en el artículo Triángulo entero # Triángulos de Heronian .

Fórmula exacta para los triángulos heronianos

Todo triángulo heroniano tiene lados proporcionales a los valores [6]

a=n(m^{{2}}+k^{{2}})

b=m(n^{{2}}+k^{{2}})

c=(m+n)(mn-k^{{2}})

semiperímetro

=s=(a+b+c)/2=mn(m+n)

Cuadrado

=mnk(m+n)(mn-k^{{2}})

Radio del círculo inscrito

=k(mn-k^{{2}})

sa=n(mn-k^{{2}})

sb=m(mn-k^{{2}})

sc=(m+n)k^{{2}}

para los enteros m , n y k , donde

\mcd {(m,n,k)}=1

mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)

m\geq n\geq 1

El coeficiente de proporcionalidad en el caso general es un número racional , donde el triángulo heroniano resultante conduce a uno primitivo y lo estira al tamaño requerido. Por ejemplo, tomando m = 36, n = 4 y k = 3, obtenemos un triángulo con lados a = 5220, b = 900 y c = 5400, que es similar al triángulo heroniano 5, 29, 30, y la proporcionalidad factor tiene el numerador p = 1 y el denominador q = 180. ${\frac{p}{q))$ $q=\mcd {(a,b,c)}$ $pags$

Véase también triángulos heronianos con un ángulo el doble del otro , triángulos heronianos con lados en progresión aritmética y triángulos isósceles heronianos .

Ejemplos

Lista de triángulos heronianos enteros primitivos, ordenados por área y, si las áreas son iguales, por perímetro . "Primitivo" significa que el máximo común divisor de las longitudes de los tres lados es 1.

Cuadrado	Perímetro	Longitudes laterales
6	12	5	cuatro	3
12	dieciséis	6	5	5
12	Dieciocho	ocho	5	5
24	32	quince	13	cuatro
treinta	treinta	13	12	5
36	36	17	diez	9
36	54	26	25	3
42	42	veinte	quince	7
60	36	13	13	diez
60	40	17	quince	ocho
60	cincuenta	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	veinte	13	once
72	64	treinta	29	5
84	42	quince	catorce	13
84	48	21	17	diez
84	56	25	24	7
84	72	35	29	ocho
90	54	25	17	12
90	108	53	51	cuatro
114	76	37	veinte	19
120	cincuenta	17	17	dieciséis
120	64	treinta	17	17
120	80	39	25	dieciséis
126	54	21	veinte	13
126	84	41	28	quince
126	108	52	51	5
132	66	treinta	25	once
156	78	37	26	quince
156	104	51	40	13
168	64	25	25	catorce
168	84	39	35	diez
168	98	48	25	25
180	80	37	treinta	13
180	90	41	40	9
198	132	sesenta y cinco	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	veinte
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	sesenta y cinco	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	quince
240	90	40	37	13
252	84	35	34	quince
252	98	45	40	13
252	144	70	sesenta y cinco	9
264	96	44	37	quince
264	132	sesenta y cinco	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	sesenta y cinco	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	veinte
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	once
330	220	109	100	once
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	quince
336	392	195	193	cuatro
360	90	36	29	25
360	100	41	41	Dieciocho
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	once
396	242	120	109	13

Triángulos comparables

Una figura se llama comparable si el área es igual al perímetro. Hay exactamente cinco triángulos heronianos comparables: (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) y (9,10,17) [7] [ ocho]

Triángulos heronianos casi equiláteros

Como el área de un triángulo regular de lados racionales es un número irracional , ningún triángulo equilátero puede ser heroniano. Sin embargo, hay una secuencia de triángulos heronianos que son "casi regulares" porque sus lados tienen la forma n − 1, n , n + 1. Los primeros ejemplos de estos triángulos casi equiláteros se enumeran en la siguiente tabla (secuencia A003500 en OEIS ).

Largo de lado			Cuadrado	Radio inscrito
norte - 1	norte	norte + 1	Cuadrado	Radio inscrito
3	cuatro	5	6	una
13	catorce	quince	84	cuatro
51	52	53	1170	quince
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

El siguiente valor de n se puede encontrar multiplicando el valor anterior por 4 y luego restando el valor que lo precede (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, etc.). De este modo,

n_{t}=4n_{{t-1}}-n_{{t-2}}

donde t es el número de fila en la tabla. Esta secuencia es la secuencia de Lucas . También puede obtener esta secuencia por fórmula para todo n . Si ponemos A = área y y = radio de la circunferencia inscrita, entonces $(2+{\raíz cuadrada {3}})^{t}+(2-{\raíz cuadrada {3}})^{t}$

{\grande (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\grande)}^{2}-2{\grande (}(n-1 )^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\grande)}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}

donde { n , y } son soluciones de la ecuación n 2 − 12 y 2 = 4. Una pequeña sustitución n = 2x da la bien conocida ecuación de Pell x 2 − 3 y 2 = 1, cuyas soluciones se pueden obtener de la expansión en fracción continua de √3 [9]

La variable n tiene la forma , donde k es igual a 7, 97, 1351, 18817, …. Los números en esta secuencia tienen la propiedad de que k enteros consecutivos tienen una desviación estándar entera . [diez] $n={\sqrt {2+2k))$

Véase también

Heron tetraedro
Cuadrilátero de Brahmagupta
Triángulo rectángulo
pentágono de robbins
Triángulo
triángulo entero

Notas

↑ Carlson, 1970 , pág. 499-506.
↑ Beauregard, Suryanarayan, 1998 , pág. 13-17.
↑ Eric W. Weisstein. Triángulo Heroniano.
↑ 12 Yiu , 2008 , pág. 17
↑ Sierpinski, 2003 .
↑ Carmichael, 1959 , pág. 11-13.
↑ Dickson, 2005 , pág. 199.
↑ Markowitz, 1981 , pág. 222-3.
↑ Richardson, 2007 .
↑ Enciclopedia en línea de secuencias enteras, A011943 .

Enlaces

Juan R. Carlson. Determinación de Triángulos Heronianos // Fibonacci Quarterly. - 1970. - T. 8 .
RD Carmichael. La Teoría de los Números y el Análisis Diofántico . - Dover Publications, Inc., 1959. - S. 1914, Análisis diofántico .
Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Los Triángulos de Brahmagupta. - 1998. - T. 29 , núm. 1 de enero -doi : 10.2307/ 2687630 .
Leonard Eugene Dickson. Historia de la Teoría de los Números ,. - Publicaciones de Dover, 2005. - T. Il: Análisis diofántico. — ISBN 9780486442334 .
L. Markowitz. Área = Perímetro // El Profesor de Matemáticas. - 1981. - T. 74 , núm. 3 . - S. 222-3 .
Guillermo H. Richardson. Triángulos superheronianos. — 2007.
Waclaw Sierpinski. Triángulos pitagóricos. — Reimpresión del libro en 1962. - Publicaciones de Dover, Inc., 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
Paul Yuu. Triángulos de garza que no se pueden descomponer en dos triángulos rectángulos enteros. - 41ª Reunión de la Sección Florida de la Asociación Matemática de América, 2008.
Enciclopedia en línea de secuencias enteras Heronian
wm. Fitch Cheney Jr. Triángulos heronianos // Am. Matemáticas. Mensual. - 1929. - T. 36 , núm. 1 de enero - S. 22-28 . — .
S.sh. Kozhegel'dinov. Sobre triángulos heronianos fundamentales // Matemáticas. notas - 1994. - T. 55 , núm. 2 . - S. 151-6 . -doi : 10.1007/ BF02113294 .