El gráfico de ciclo de un grupo ilustra los diversos ciclos de un grupo y, en particular, se utiliza para visualizar la estructura de pequeños grupos finitos .
Un ciclo es el conjunto de potencias de un elemento a del grupo, donde a n , la n- ésima potencia del elemento a , se define como el producto de a por sí mismo n veces. Se dice que el elemento a genera un ciclo. En un grupo finito, alguna potencia distinta de cero del elemento a debe ser igual al elemento neutral (identidad) e . El grado más pequeño de este tipo se denomina orden del ciclo y es igual al número de elementos diferentes en el ciclo. En el gráfico de ciclos, el ciclo está representado por un polígono, en el que los vértices reflejan los elementos del grupo, y las aristas que conectan los vértices indican que los vértices del polígono son miembros del mismo ciclo.
Los ciclos pueden superponerse o no tener elementos comunes, excepto uno solo. El gráfico de ciclo muestra cada ciclo como un polígono.
Si a genera un ciclo de orden 6 (o, más brevemente, tiene orden 6), entonces a 6 = e . En este caso, los grados del cuadrado del elemento a 2 , { a 2 , a 4 , e } forman un ciclo, pero en realidad este hecho no aporta ninguna información adicional. De manera similar, un 5 genera el mismo ciclo que él mismo .
Por lo tanto, solo se deben considerar los ciclos simples , es decir, aquellos que no son subconjuntos de otros ciclos. Cada uno de estos ciclos es generado por algún elemento simple a . Toma un vértice para cada elemento del grupo original. Para cada elemento primo, arista e a a , a a a 2 , ..., a n −1 a a n , etc., hasta obtener e nuevamente . El resultado será un gráfico de ciclo.
Si a 2 = e , a tiene orden 2 (es una involución ) y está conectado al elemento identidad e por dos aristas. Excepto cuando desea enfatizar dos bordes de un ciclo, generalmente solo se dibuja un borde [1] .
Caleidoscopio Dih 4 con espejo rojo y generadores de rotación 4x |
Gráfica de ciclo del grupo diédrico Dih 4 . |
Como ejemplo de un gráfico de ciclo de grupo, considere el grupo diédrico Dih 4 . La tabla de multiplicar de este grupo se muestra a continuación, y el gráfico del ciclo se muestra en la figura de la derecha ( e muestra el elemento de identidad).
| o | mi | b | a | un 2 | un 3 | abdominales | un 2 segundo | un 3 segundo |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| mi | mi | b | a | un 2 | un 3 | abdominales | un 2 segundo | un 3 segundo |
| b | b | mi | un 3 segundo | un 2 segundo | abdominales | un 3 | un 2 | a |
| a | a | abdominales | un 2 | un 3 | mi | un 2 segundo | un 3 segundo | b |
| un 2 | un 2 | un 2 segundo | un 3 | mi | a | un 3 segundo | b | abdominales |
| un 3 | un 3 | un 3 segundo | mi | a | un 2 | b | abdominales | un 2 segundo |
| abdominales | abdominales | a | b | un 3 segundo | un 2 segundo | mi | un 3 | un 2 |
| un 2 segundo | un 2 segundo | un 2 | abdominales | b | un 3 segundo | a | mi | un 3 |
| un 3 segundo | un 3 segundo | un 3 | un 2 segundo | abdominales | b | un 2 | a | mi |
Prestemos atención al ciclo e , a , a 2 , a 3 . Se puede ver en la tabla como potencias sucesivas de a . El paso inverso también es adecuado. En otras palabras, ( a 3 ) 2 = a 2 , ( a 3 ) 3 = a y ( a 3 ) 4 = e . Este comportamiento sigue siendo cierto en cualquier ciclo de cualquier grupo: el ciclo se puede atravesar en cualquier dirección.
Los bucles que contienen valores de elementos no primos contienen implícitamente bucles que no se muestran en el gráfico. Para el grupo Dih 4 anterior, podemos dibujar una arista entre a 2 y e porque ( a 2 ) 2 = e , pero a 2 es parte de un ciclo mayor, por lo que la arista no se dibuja.
Puede existir una ambigüedad si dos ciclos contienen un elemento que no es un solo elemento. Considere, por ejemplo, el grupo de cuaterniones , cuyo gráfico de ciclo se muestra a la derecha. Cada elemento de la fila del medio, multiplicado por sí mismo, da -1. En este caso, podemos usar diferentes colores para reflejar los ciclos, aunque una simple convención de simetría funcionará igual de bien.
Como se mencionó anteriormente, los dos bordes de un ciclo de dos elementos suelen estar representados por un solo borde.
El elemento inverso se puede encontrar en el gráfico del ciclo de la siguiente manera: es un elemento que está a la misma distancia de la unidad, pero en la dirección opuesta.
Los gráficos de ciclo fueron considerados por el teórico de números Daniel Shanks a principios de la década de 1950 como un medio para estudiar los grupos multiplicativos de anillos de residuos [2] . Shanks publicó por primera vez la idea en la primera edición (1962) de su libro Solved and Unsolved Problems in Number Theory [ 3] . En el libro, Shanks investiga qué grupos tienen gráficos de ciclo isomorfos y cuándo el gráfico de ciclo es plano [4] . En la segunda edición (1978), Shanks analiza su investigación sobre grupos de clases ideales y el desarrollo del algoritmo de pasos grandes y pequeños [5] :
Los gráficos de ciclo han demostrado ser útiles cuando se trata de grupos abelianos y los he usado a menudo para comprender su estructura compleja [77, p. 852], para obtener conexiones múltiples [78, p. 426] o para distinguir ciertos subgrupos [79].
Los gráficos de ciclo se utilizan como herramienta de enseñanza en el libro de texto introductorio Teoría de grupos visuales de Nathan Carter (2009) [ 6] .
Algunos tipos de grupos tienen gráficos típicos:
Los grupos cíclicos Z n de orden n tienen un solo ciclo que se puede dibujar como un polígono de n lados:
| Z1 _ | Z 2 = Dih 1 | Z3 _ | Z4 _ | Z5 _ | Z 6 \u003d Z 3 × Z 2 | Z7 _ | Z8 _ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z9 _ | Z 10 \u003d Z 5 × Z 2 | Z11 _ | Z 12 \u003d Z 4 × Z 3 | Z13 _ | Z 14 \u003d Z 7 × Z 2 | Z 15 \u003d Z 5 × Z 3 | Z16 _ |
| Z17 _ | Z 18 \u003d Z 9 × Z 2 | Z19 _ | Z 20 = Z 5 × Z 4 | Z 21 \u003d Z 7 × Z 3 | Z 22 \u003d Z 11 × Z 2 | Z23 _ | Z 24 \u003d Z 8 × Z 3 |
| Z2 _ | Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 \u003d Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 |
|---|
Si n es un número primo , los grupos de la forma (Z n ) m tienen ( n m − 1)/( n − 1) ciclos de longitud n con un elemento de identidad común:
| Z 2 2 = Dih 2 | Z 2 3 \u003d Dih 2 × Dih 1 | Z 2 4 = Dih 2 2 | Z 3 2 |
|---|
Los grupos diedros Dih n tienen orden 2 n y consisten en un ciclo de longitud n y n ciclos de 2 elementos:
| Dih 1 = Z 2 | Dih 2 = Z 2 2 | di 3 | Dih 4 | di 5 | Dih 6 = Dih 3 × Z 2 | di 7 | di 8 | di 9 | Dih 10 \u003d Dih 5 × Z 2 |
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Grupos dicíclicos , Dic n = Q 4n tienen orden 4 n :
| Dic 2 = Q 8 | Dic 3 = Q 12 | Dic 4 = Q 16 | Dic 5 = Q 20 | 6 Dic = Q 24 |
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Otros trabajos directos :
| Z4 × Z2 _ | Z 4 × Z 2 2 | Z6 × Z2 _ | Z8 × Z2 _ | Z 4 2 |
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El grupo simétrico S n para cualquier grupo de orden n contiene un subgrupo isomorfo a este grupo, de modo que el gráfico de ciclo de cualquier grupo de orden n se puede encontrar como un subgráfico del gráfico de ciclo S n .
Ver ejemplo: Subgrupos del grupo S 4 .
| S 4 × Z 2 | A 4 × Z 2 | Dih 4 × Z 2 | S 3 × Z 2 |
El grupo octaédrico completo es el producto directo del grupo simétrico S 4 y el grupo cíclico Z 2 .
El grupo tiene orden 48 y contiene subgrupos de cualquier orden que divide 48.
En los ejemplos a continuación, los vértices conectados entre sí están ubicados uno al lado del otro,
por lo que los gráficos de ciclo presentados no son los gráficos más simples de estos grupos (compárelos con los gráficos de ciclo de los mismos grupos al comienzo de la sección).
| S 4 × Z 2 (pedido 48) | A 4 × Z 2 (pedido 24) | Dih 4 × Z 2 (pedido 16) | S 3 × Z 2 = Dih 6 (orden 12) |
|---|---|---|---|
| S 4 (pedido 24) | Un 4 (orden 12) | Dih 4 (orden 8) | S 3 = Dih 3 (orden 6) |
Como todos los demás gráficos, los gráficos de ciclo se pueden representar de diversas formas para enfatizar diferentes propiedades. Las dos representaciones gráficas de ciclo del grupo S 4 son un ejemplo de esto.
| El gráfico de ciclo de S 4 anterior enfatiza la presencia de tres subgrupos Dih 4 . | ||
| Estas dos representaciones enfatizan la simetría que se aprecia en el volteo de los conjuntos de la derecha. | ||